Kezdőlap


Feladat:	F.2092	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lenkei Péter , Pethő Attila
Füzet:	1978/január, 4 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: F.2092

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Célszerűnek látszik az $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}$ szorzatot összeggé alakítani, mivel így remélhetjük, hogy bizonyos tagok összege $0$ lesz és $a_{n}$ egyszerűbben is kifejezhető. Próbáljuk meg az $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}$ -t $\frac{A}{n} + \frac{B}{n + l} + \frac{C}{n + 2}$ alakban felírni:

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2} = \frac{n^{2} (A + B + C) + n (3 A + 2 B + C) + 2 A}{n (n + 1) (n + 2)} . \end{matrix}

Ha ez minden n-re teljesül, akkor nyilván

\begin{matrix} A + B + C & = 0, \\ 3 A + 2 B + C & = 0, \\ 2 A & = 1. \end{matrix}

Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy

A = \frac{1}{2}

;

B = - 1

;

C \frac{1}{2}

, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n + 2}) . \end{matrix}

(1)-ben minden tagot hasonlóképpen felbontva,

\frac{1}{k}

(k = 3

...

n)

háromszor szerepel: kétszer

\frac{1}{2}

és egyszer

- 1

együtthatóval, ezek összege nyilván

0

. Az

\frac{1}{1}

és

\frac{1}{n + 2}

csak egyszer, az első, illetve az utolsó tag összeggé bontásában fordul elő, míg az

\frac{1}{2}

és

\frac{1}{n + 1}

az első kettő, illetve az utolsó két tag felbontásában. Így

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 n (n + 1) (n + 2)} . \end{matrix}

(2)

{lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} \frac{1}{2 n (n + 1) (n + 2)} = 0

miatt a sorozat konvergens és határértéke

\frac{1}{4}

Pethő Attila (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., III. o. t)

Megjegyzés. Az

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}) \end{matrix}

(3)

felbontás hasonló eredményre vezet, sőt még némi általánosításra is lehetőséget ad.
Az

A_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2 ... k} + \frac{1}{2 \cdot 3 ... (k + 1)} + ... + \frac{1}{n (n + 1) ... (n + k - 1)}

sorozat határértékét keresve ugyanis (3) mintájára alkalmazhatjuk a könnyen igazolható

\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 1) ... (n + k - 1)} = \frac{1}{k - 1} (\frac{1}{n (n + 1) ... (n + k - 2)}) - \\ - (\frac{1}{(n + 1) (n + 2) ... (n + k - 1)}) . \end{matrix}

azonosságot. Ennek segítségével kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{n} = \frac{1}{k - 1} (\frac{1}{(k - 1)!} - \frac{1}{(n + 1) ... (n + k - 1)}) . \end{matrix}

Végül

{lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} A_{n} = \frac{1}{(k - 1) (k - 1)!}

,

tehát

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{(n + k - 1)!} = \frac{1}{(k - 1) (k - 1)!} . \end{matrix}

Lenkei Péter (Budapest, József A. Gimn., IV. o. t.)