Kezdőlap


Feladat:	F.2091	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Boros L. , Cseke I. , Csikós Balázs , Erdélyi T. , Filakovszky P. , Frank J. , Hajnal P. , Homonnay G. , Horváth 619 M. , ifj. Szabó 284 S. , Ivanyos G. , Knébel I. , Lukács 258 Erzsébet , Sali A. , Szőke R.
Füzet:	1977/október, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: F.2091

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha két tízes számrendszerben felírt számot a szokásos módon összeadunk (az összeget is tízes számrendszerben írjuk fel), az összeg képzésénél előfordulhat, hogy 10 db egyforma kisebb egységet be kell váltanunk egy darab tízszer nagyobb egységre (itt egységnek a tíz nem negatív egész kitevős hatványait tekintjük), de sohasem kell felváltanunk egy nagyobb egységet kisebb egységekre, mint pl. a kivonásnál. Ezért az összeg számjegyeinek az összege sohasem haladhatja meg a tagok számjegy-összegeinek az összegét, vagyis

\begin{matrix} s (A + B) \leq s (A) + s (B), \end{matrix}

(1)

ahol

A

és

B

tetszőleges pozitív egész számok.
Az (1) összefüggés többszöri felhasználásával tetszőleges számú tagra hasonló összefüggést kapunk:

\begin{matrix} s (A_{1} + A_{2} + ... + A_{m}) \leq s (A_{1}) + s (A_{2}) + ... + s (A_{m}) . \end{matrix}

(2)

Ha speciálisan

A_{1} = A_{2} = ... = A_{n} = A

, akkor (2) így alakul:

\begin{matrix} s (n A) \leq n \cdot s (A) . \end{matrix}

(3)

Megállapíthatjuk azt is, hogy

\begin{matrix} s (10^{k} \cdot A) = s (A), (k = 0, 1, 2, ...), \end{matrix}

(4)

hiszen

10^{k} \cdot A

tízes számrendszerbeli alakja nem más, mint az

A

tízes számrend szerbeli alakja és utána

k

darab

0

számjegy.
Legyen

B = b_{m} \cdot 10^{m} + b_{m - 1} 10^{m - 1} + ... + b_{1} \cdot 10 + b_{0}

.
Ekkor

\begin{matrix} s (A B) = s (A b_{m} \cdot 10^{m} + A b_{m - 1} \cdot 10^{m - 1} + ... + A b_{1} \cdot 10 + A b_{0}) . \end{matrix}

(2) alapján

\begin{matrix} s (A B) \leq s (A b_{m} \cdot 10^{m}) + s (A b_{m - 1} \cdot 10^{m - 1}) + ... + s (A b_{1} \cdot 10) + s (A b_{0}) . \end{matrix}

(4), majd (3) alapján pedig

\begin{matrix} s (A B) \leq s (A b_{m}) + s (A b_{m - 1}) + ... + s (A b_{1}) + s (A b_{0}) \leq \\ \leq b_{m} s (A) + b_{m - 1} s (A) + ... + b_{1} s (A) + b_{0} s (A), \end{matrix}

de mivel

b_{m} + b_{m - 1} + ... + b_{1} + b_{0} = s (B)

, ezért

\begin{matrix} s (A B) \leq s (A) s (B) . \end{matrix}

(5)

A feladat állításának igazolása érdekében (4) alkalmazásával alakítsuk át

s (n)

-et a következőképpen:

\begin{matrix} s (n) = s (1000 n) = s (125 \cdot 8 n) \end{matrix}

Legyen (5)-ben

A = 125

és

B = 8 n

.
Ekkor

s (125 \cdot 8 n) \leq s (125) \cdot s (8 n)

.
Mivel

s (125) = 8

, a kívánt összefüggés ezzel igazolást nyert.

Csikós Balázs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)