Kezdőlap


Feladat:	F.2090	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/november, 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Térfogat, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/március: F.2090

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp egy tengelymetszete az $M A B$ egyenlő szárú háromszög, messe az $A B = 2 r$ alap $O$ felezőpontja körüli $r$ sugarú kör az $M A$ alkotót a $C$ , az $M O = m$ tengelyt a $D$ és $D'$ pontokban, továbbá legyen $C$ vetülete $O M$ -re $E$ .

A kúp és a félgömb közös részét a

C

-n átmenő, az alappal párhuzamos sík egy csonkakúpra és egy gömbszeletre vágja szét. Legyen a csonkakúp magassága

O E = m'

, kisebbik alapkörének sugara

r'

, ekkor a gömbszelet magassága

r - m'

.
Ezekkel a két rész

V_{csk}

, ill.

V_{gsz}

térfogatára ismert képletek:

\begin{matrix} V_{csk} = \frac{π}{3} m' (r^{2} + r r' + r'^{2}), \\ V_{gsz} = \frac{π}{3} {(r - m')}^{2} (2 r + m') . \end{matrix}

m'

r'

méreteket a kör

M

-ből húzott szelői, valamint hasonló háromszögek révén kifejezzük az

m

r

adatokkal:

\begin{matrix} M C \cdot M A = M D \cdot M D', \\ M E = \frac{M C}{M A} \cdot M O = \frac{M O \cdot M D \cdot M D'}{M A^{2}} = \frac{m (m - r) (m + r)}{m^{2} + r^{2}} = \frac{m (m^{2} - r^{2})}{m^{2} + r^{2}}, \\ m' = m - M E = \frac{2 m r^{2}}{m^{2} + r^{2}}, \\ C E = \frac{M E}{M O} \cdot A O = \frac{r (m^{2} - r^{2})}{m^{2} + r^{2}} = r', r'^{2} + m'^{2} = r^{2} . \end{matrix}

Ezeket beírva, a két darab együttes térfogata

\begin{matrix} V = \frac{π}{3} [2 r^{3} + r m' r' - 2 r^{2} m' + m' (r'^{2} + m'^{2})] = \\ = \frac{2 π r^{3}}{3} [1 + \frac{m r (m^{2} - r^{2})}{{(m^{2} + r^{2})}^{2}} - \frac{m r}{m^{2} + r^{2}}] = \frac{2 π r^{3}}{3} [1 - \frac{2 m r^{3}}{{(m^{2} + r^{2})}^{2}}] . \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Azt is látjuk az eredményből, hogy az ábra

A C

szeletének

M O

körüli forgatásával előálló gyűrű-test térfogata mint a félgömb és a vizsgált darab térfogatának különbsége

\begin{matrix} \frac{4 π}{3} \cdot \frac{m r^{6}}{{(m^{2} + r^{2})}^{2}} . \end{matrix}