Feladat: F.2088 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1977/november, 130. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/március: F.2088

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan M pontokat keresünk tehát, amelyekből húzható k-hoz érintő, és ennek hossza az MK távolság λ-szorosa. Így eleve csak λ≥0 jöhet szóba, és λ=0 mellett MT=0 miatt a keresett mértani hely maga a k. A továbbiakban feltesszük, hogy λ>0.

 

 

Jelöljük az MK egyenes k-val alkotott második metszéspontját L-lel (érintés esetén legyen L a K-val azonos). Mivel MT2=MK⋅ML, azért M pontosan akkor tartozik a vizsgált mértani helyhez, ha
ML=λ2⋅MK.(1)
Eszerint az M, K, L pontok sorrendjét λ egyértelműen meghatározza:
a) ha λ<1, akkor ML<MK, emiatt ML=MK-KL, és (1) azt jelenti, hogy
MK=KL1-λ2;(1a)

b) ha λ=1, akkor K és L azonosak, és a keresett mértani hely k-nak K-beli érintője;
c) ha λ>1, ML>MK, emiatt ML=MK+KL, és (1) azt jelenti, hogy
MK=KLλ2-1.(1c)

A kapott (1a), (1c) feltételek szerint M az L-ből és a keresett halmaz k-ból K centrumú 1/|1-λ2| arányú centrális hasonlósággal származik, és az M, K, L pontok sorrendjéről mondottak szerint az első esetben a képet a K-beli érintő k-t tartalmazó oldalán, a másodikban a másik oldalon kell előállítani. (Az első esetben a még szükséges MK>ML feltétel 1-λ2<1 miatt automatikusan teljesül.)