Kezdőlap


Feladat:	F.2082	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Belénessy Zs. , Benkő T. , Bessenyei B. , Csapó Ildikó , Csikós B. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Fordán T. , Hajnal P. , Horváth 238 László , Horváth 619 Miklós , Ivanyos G. , Jekkel P. , Knébel I. , Koncz K. , Kozma L. , Laczkó M. , Nagy 535 Miklós , Németh Csőka M. , Réti S. , Révész T. , Spissich L. , Szegedy M. , Szigeti A. , Szőke R. , Tóth Cs.
Füzet:	1977/november, 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: F.2082

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kizárjuk az $A B = A C$ eseteket, mert ekkor az $O K$ egyenes vagy átmegy $A$ -n, vagy nem is határozott, ti. ha még $A B = B C$ is áll, és emiatt $K$ azonos $O$ -val. ‐ Az új kör $K M$ ívén nyugvó $K A M ∢ = K A O ∢$ és $O K M ∢$ (érintő szárú) kerületi szögek egyenlők, tehát az $O$ -ban közös szögű $O A K$ és $O K M$ háromszögek hasonlók. Ezért $O A : O K = O K : O M$ és $O K^{2} = O A \cdot O M = r \cdot O M$ .

Másrészt Euler ismert tétele^{$^{*}$} szerint minden háromszögben

O K^{2} = r^{2} - 2 r ϱ = r (r - 2 ϱ)

. Egybevetve:

O M = r - 2 ϱ

és

M A = O A - O M = 2 ϱ

, amint a feladat állítja. (Nem bizonyítottuk, hogy

M

mindig az

O A

szakaszon keletkezik.)

^{$^{*}$}A tételnek és megfordításának bizonyítását lásd pl.: Kürschák J.‐ Hajós Gy. ‐ Neukomm Gy. ‐ Surányi J.: Matematikai versenytételek, I. rész, 3. kiad., 40. old. (Tankönyvkiadó, Budapest, 1965).