Kezdőlap


Feladat:	F.2081	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/november, 124 - 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Numerikus és grafikus módszerek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: F.2081

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg $n$ néhány értékére az $n + \sqrt[]{n}$ -hez legközelebb eső $k$ számot:

\begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ k & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 17 \end{matrix}

Azt tapasztaljuk, hogy

k

értéke valóban a soron következő természetes szám, kivéve, ha az négyzetszám. Azt is megfigyelhetjük, hogy ha valamilyen

a

pozitív egészre

\begin{matrix} a^{2} < k < {(a + 1)}^{2}, \end{matrix}

(1)

akkor

\begin{matrix} n = k - a . \end{matrix}

(2)

Ezt fogjuk igazolni. Ehhez azt kell belátnunk, hogy ha

k

-ra teljesül (1), akkor a (2)-vel definiált

n

-re

\begin{matrix} k - 0, 5 < n + \sqrt[]{n} < k + 0, 5, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a - 0, 5 < \sqrt[]{n} < a + 0, 5. \end{matrix}

Mivel itt még

a - 0, 5

is pozitív, négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} a^{2} - a + 0, 25 < n < a^{2} + a + 0, 25. \end{matrix}

Ide beírjuk

n

értékét, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + 0, 25 < k < {(a + 1)}^{2} - 0, 75, \end{matrix}

ami ‐ egész kitevőkről lévén szó ‐ ekvivalens (1)-gyel, állításunkat ezzel beláttuk.