Kezdőlap


Feladat:	F.2080	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baksai Róbert , Lukács Erzsébet
Füzet:	1977/november, 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: F.2080

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nem következik. Tekintsük a minden valós számra értelmezett $f (x) = | x |$ függvényt. $a < 0$ esetén $b = 0$ ; $a ≧ 0$ esetén $b = a + 1$ választással minden $a$ -hoz megadtunk olyan $b$ -t, hogy az $a$ , $b$ intervallumban a függvény monoton. Ugyanakkor a függvény nem monoton az egész számegyenesen.

Megjegyzés. Ha azt kötjük ki, hogy

f

monoton növő (ill. fogyó)

a

és

b

között, abból sem következik, hogy monoton az egész számegyenesen. Jó példa erre a következő függvény:

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} x, ha x < 0, \\ x - 1, ha x ≧ 0. \end{matrix} \end{matrix}

Legyen

a < 0

esetén

\begin{matrix} b = \frac{a}{2} és \end{matrix}

a > 0

esetén

\begin{matrix} b = a + 1. \end{matrix}

Így minden

a

-hoz megadtunk olyan

b

-t, hogy az

[a, b]

intervallumban a függvény szigorúan monoton nő. Az egész számegyenesen azonban nyilván nem lesz monoton növő, hiszen pl.

- \frac{1}{2} = f (- \frac{1}{2}) > f (0) = - 1

.
Lukács Erzsébet (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
Baksai Róbert (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)