Kezdőlap


Feladat:	F.2079	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Blázsik Z. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Filakovszky P. , Frank J. , Hajnal P. , Horváth 619 Miklós , Hülber E. , Ivanyos G. , Knébel I. , Koncz K. , Lenkei P. , Németh 892 Róbert , Rapai T. , Samu P. , Somogyi Á. , Székely Zoltán , Szigeti A. , Szőke R. , Tóth Cs. , Várnagy P. , Vass J.
Füzet:	1977/november, 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Indirekt bizonyítási mód, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: F.2079

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván fel kell tennünk, hogy $n$ egész is, különben az állítás nem igaz. Jelöljük $5^{n} sin n α$ -t $S_{n}$ -nel, és $5^{n} cos n α$ -t $C_{n}$ -nel. Akkor

\begin{matrix} S_{n + 1} = 5^{n + 1} sin (n α + α) = (5^{n} sin n α) (5 cos α) + (5^{n} cos n α) (5 sin α) = S_{n} C_{1} + C_{n} S_{1}, \\ C_{n + 1} = 5^{n + 1} cos (n α + α) = (5^{n} cos n α) (5 cos α) - (5^{n} sin n α) (5 sin α) = C_{n} C_{1} - S_{n} S_{1} . \end{matrix}

Mivel

S_{1} = 3

, azért

C_{1}

csak

\pm 4

lehet. Ezekből az értékekből kiindulva és a fenti képletek alapján számolva az

S_{n}

C_{n}

sorozatok elemeiként csupa egész számot kapunk, hiszen a képletekben csak szorzás, összeadás és kivonás szerepel.
Megmutatjuk, hogy nincs olyan

n

, amelyre

S_{n}

osztható volna

5

-tel. Ha ugyanis volna ilyen

n

, akkor

\begin{matrix} S_{n}^{2} + C_{n}^{2} = 5^{2 n} \end{matrix}

miatt arra

C_{n}

is osztható volna

5

-tel, és ettől kezdve mindkét sorozat minden tagja osztható volna

5

-tel. Mivel

\begin{matrix} S_{k}^{2} = \frac{1}{2} (5^{2 k} - C_{2 k}), \end{matrix}

ha valamely

k

-ra

C_{2 k}

osztható volna

5

-tel, akkor

S_{k}

is osztható

5

-tel. Ebből végül is azt kapnánk, hogy

S_{n}

minden

n

-re osztható

5

-tel, ámde

S_{1}

nem osztható

5

-tel.

Székely Zoltán (Szekszárd, Garay J. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Hasonlóan látható be általában, hogy minden

n

-hez található

sin x

-nek mint változónak olyan pontosan

n

-edfokú, egész együtthatós

A_{n}

B_{n}

polinomja, hogy

\begin{matrix} sin 2 k α = (cos α) \cdot A_{2 k - 1} (sin α), cos 2 k α = B_{2 k} (sin α), \\ sin (2 k + 1) α = B_{2 k + 1} (sin α), cos (2 k + 1) α = (cos α) \cdot A_{2 k} (sin α) . \end{matrix}

Ebből már következnek állításaink, ha még azt is belátjuk, hogy az

A_{n}

B_{n}

polinomokban a legmagasabb fokú tag együtthatója nem osztható

5

-tel.