Kezdőlap


Feladat:	F.2077	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Blázsik Z. , Csikós B. , Horváth 219 J. , Iván T. , Knébel I. , Pósafalvi A. , Szabó 284 Sándor , Vágvölgyi S. , Varga 711 G.
Füzet:	1977/október, 63 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok approximációja, Numerikus és grafikus módszerek, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: F.2077

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körök középpontját $A$ , $B$ -vel, metszéspontjaikat $C$ , $D$ -vel, az $A C B$ szöget $x$ -szel.

A keresett távolság

\begin{matrix} A B = 2 A C sin \frac{x}{2} = 4 sin \frac{x}{2}, \end{matrix}

a két kör közös részének területe pedig

\begin{matrix} T = A C^{2} (π - x) - 2 T_{A B C} = 4 (π - x) - 4 sin x . \end{matrix}

Ennyivel kisebb az együtt lefedett terület egy kör területének a kétszeresénél:

\begin{matrix} 4 (π - x) - 4 sin x = 8 π - 6 π, \\ x = \frac{π}{2} - sin x . \end{matrix}

Könnyen látható, hogy

A B < A C

, így

x < \frac{π}{3} = 1, 05

. Induljunk ki az

x_{0} = 1, 05

értékből, és helyettesítsük ezt az egyenlet jobb oldalába. Kapjuk az

\begin{matrix} x_{1} = \frac{π}{2} - sin x_{0} = 1, 57 - 0, 87 = 0, 70 \end{matrix}

értéket. Ebből hasonlóan tovább menve az

\begin{matrix} x_{2} = \frac{π}{2} - sin x_{1} = 1, 57 - 0, 64 = 0, 93, \\ x_{3} = \frac{π}{2} - sin x_{2} = 1, 57 - 0, 80 = 0, 77, \\ x_{4} = \frac{π}{2} - sin x_{3} = 1, 57 - 0, 70 = 0, 87, \\ x_{5} = \frac{π}{2} - sin x_{4} = 1, 57 - 0, 76 = 0, 81, \\ x_{6} = \frac{π}{2} - sin x_{5} = 1, 57 - 0, 72 = 0, 85, \\ x_{7} = \frac{π}{2} - sin x_{6} = 1, 57 - 0, 75 = 0, 82 \end{matrix}

értékeket kapjuk. Közben az iskolai függvénytáblázatok ,,Trigonometrikus függvények'' részét használtuk, mert ebben található a radiánokban mért szögek sinusza. Nem lett volna értelme két értékes jegynél többet kivenni a táblázatból, hiszen a kapott közelítések még pontatlanok. Sorozatunk két oldalról közelíti meg a keresett gyököt,

x_{1}

x_{3}

x_{5}

x_{7}

kisebb nála,

x_{0}

x_{2}

x_{4}

x_{6}

pedig nagyobb.

x_{8} = 0, 83

és

x_{9} = 0, 84

helyeken a jobb oldal értéke (most már felhasználva a táblázat összes jegyét)

\begin{matrix} 1, 5708 - 0, 7379 = 0,8329 > x_{8} és 1, 5708 - 0, 7446 = 0, 8262 < x_{9}, \end{matrix}

tehát a gyök e két érték között van, valahol ott, ahol

sin x_{10} = 0, 74

. Itt (a ciklometrikus függvények táblázata alapján)

x_{10} = 0, 8331

, ami ugyanúgy kisebb

(π / 2 - sin x_{10})

-nél, mint az

x_{9}

(π / 2 - sin x_{9})

-nél. Tehát

\begin{matrix} x_{8} = 0, 83 < x < x_{10} = 0, 8331. \end{matrix}

Nem célszerű közvetlenül a táblázátból kiolvasni

sin x / 2

megfelelő határait, pontosabb becslést ad a

\begin{matrix} sin \frac{x}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos x}{2}} \end{matrix}

összefüggés. Ebből kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2, 600 = 8 (1 - 0, 675) < 16 sin^{2} \frac{x}{2} < 8 (1 - \sqrt[]{1 - 0, 74^{2}}) < 8 (1 - 0, 672) = 2, 624, \\ 1, 612 < A B < 1, 620. \end{matrix}

Tehát a két keresett tört

161 / 100

és

162 / 100