Feladat:	F.2076	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/május, 209 - 210. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: F.2076

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a}\text{tg}\alpha \left(\text{tg}\beta -\text{tg}\gamma \right)+\frac{1}{b}\text{tg}\beta \left(\text{tg}\gamma -\text{tg}\alpha \right)+\frac{1}{c}\text{tg}\gamma \left(\text{tg}\alpha -\text{tg}\beta \right)=0.}\end{array}$ (1) A bizonyítandó azonosság csak akkor értelmezhető, ha $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ egyike sem egyenlő ${90}^{\circ }$-kal. Jelöljük $Q$-nak az egyenesen levő vetületét $R$-rel, és lássuk el a $PQR$ szög mértékét pozitív vagy negatív előjellel aszerint, hogy $R$ a $P$-nek ugyanazon az oldalán van-e, mint az $A$, $B$, $C$ pontok, vagy sem. Hasonlóan előjelezzük a $PR$ szakasz hosszát is, ekkor továbbra is igaz lesz, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle PR=QR\text{tg}\omega \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\omega$ az előjellel ellátott $PQR$ szöget jelöli. Lássuk el pozitív vagy negatív előjellel az $RA$ szakaszt és $RQA$ szöget is aszerint, hogy $PA$-val, illetve $PQA$-val egyirányúak-e, akkor $RQA\sphericalangle =\alpha -\omega$, és $RA=PA-PR$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a=QR\left(\text{tg}\left(\alpha -\omega \right)+\text{tg}\omega \right)=QR\frac{\left(1+{\text{tg}}^2\omega \right)\text{tg}\alpha }{1+\text{tg}\alpha \text{tg}\omega }\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle b=QR\frac{\left(1+{\text{tg}}^2\omega \right)\text{tg}\beta }{1+\text{tg}\beta \text{tg}\omega }\mathrm{,}c=QR\frac{\left(1+{\text{tg}}^2\omega \right)\text{tg}\gamma }{1+\text{tg}\gamma \text{tg}\omega }\mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket (1)-be helyettesítve valóban azonosságot kapunk. A 2046. feladatban $\alpha ={30}^{\circ }$, $\beta ={80}^{\circ }$, $\gamma ={115}^{\circ }$, $a=100\text{m}$, $c-b=200\text{m}$ volt, az $x=b-a$ ismeretlenre (1)-ből a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{\text{tg}{30}^{\circ }}{100}\left(\text{tg}{80}^{\circ }-\text{tg}{115}^{\circ }\right)\frac{\text{tg}{80}^{\circ }}{100+x}\left(\text{tg}{115}^{\circ }-\text{tg}{30}^{\circ }\right)+\frac{\text{tg}{115}^{\circ }}{300+x}\left(\text{tg}{30}^{\circ }-\text{tg}{80}^{\circ }\right)=0}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ egyenletet kapjuk. Ez ekvivalens az eredeti megoldás egyenletével.