Kezdőlap


Feladat:	F.2075	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Agg F. , Balázs I. J. , Balogh J. , Berkes J. , Boros L. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Erdődy Gizella , Filakovszky P. , Frank J. , G. Horváth Ákos , Hajnal P. , Herget J. , Homonnay G. , Horváth 128 J. , Horváth 145 T. , Ivanyos G. , Karsány L. , Knébel I. , Koncz K. , Krizsán I. , Laczkó M. , Lenkei P. , Lukács 258 Erzsébet , Mészáros 152 Gy. , Misley M. , Nagy 535 M. , Spissich L. , Szabó 284 Sándor , Székely Z. , Szigeti A. , Sörös G. , Tóth Cs. , Vass J. , Verő Mária
Füzet:	1977/május, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: F.2075

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó azonosság bal oldalán álló $36$ tényezős szorzat utolsó $18$ tényezőjét alakítsuk át

\begin{matrix} sin (x + 90^{\circ}) = cos x \end{matrix}

azonosság alkalmazásával, majd a

\begin{matrix} sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2} \end{matrix}

azonosságot alkalmazzuk a megfelelő tényezőkre. Így a következő alakhoz jutunk:

\begin{matrix} sin 2 α sin (2 α + 10^{\circ}) ... sin (2 α + 170^{\circ}) = \frac{1}{2^{17}} sin 36 α \end{matrix}

Az előző lépéseket a bal oldalon álló

18

tényezős szorzatra ismét alkalmazva, a bizonyítandó azonosság a következő lesz:

\begin{matrix} sin 4 α sin (4 α + 20^{\circ}) ... sin (4 α + 160^{\circ}) = \frac{1}{2^{8}} sin 36 α . \end{matrix}

Alkalmazzuk most a könnyen igazolható

\begin{matrix} sin x sin (x + 60^{\circ}) sin (x + 120^{\circ}) = \frac{sin 3 x}{4} \end{matrix}

(2)

azonosságot a bal oldali tört számlálójában álló

9

tényezős szorzatra (a tényezőket megfelelően csoportosítva). Ezzel a

\begin{matrix} sin 12 α sin (12 α + 60^{\circ}) sin (12 α + 120^{\circ}) = \frac{sin 36 α}{4} \end{matrix}

azonosságra jutunk, ami (2) következménye. Ekvivalens átalakításokat végeztünk, így a feladatban szereplő azonosságot igazoltuk.