Kezdőlap


Feladat:	F.2074	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Spissich László
Füzet:	1977/május, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Irracionális számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: F.2074

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel először, hogy $0 \leq a < b$ . Be fogjuk látni, hogy $n$ és $k$ alkalmas választásával $\sqrt[]{n} - \sqrt[]{k}$ lehet ,,elég kicsi'' és ,,elég nagy'' is.
Legyen $i$ természetes szám, ekkor

\begin{matrix} 0 < \sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i} = \frac{1}{\sqrt[]{i + 1} + \sqrt[]{i}} < \frac{1}{2 \sqrt[]{i}} . \end{matrix}

(2)

Innen látható, hogy ha

\begin{matrix} i > \frac{1}{4 {(b - a)}^{2}} akkor \sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i} < b - a, \end{matrix}

azaz két szomszédos természetes szám négyzetgyökének különbsége lehet ,,elég kicsi''. Megmutatjuk, hogy alkalmas

m

természetes számmal megszorozva ez az érték

a

és

b

között lesz.
Legyen

m

a legkisebb egész, amelyre

m (\sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i})

nagyobb

a

-nál. Akkor

m

-re teljesül, hogy

\begin{matrix} A = (m - 1) (\sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i}) \leq a és B = m (\sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i}) > a . \end{matrix}

Ekkor

m (\sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i}) < b

, hiszen

B - A = \sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i} < b - a =

. Mivel

m (\sqrt[]{i + 1} - \sqrt[]{i}) = \sqrt[]{m^{2} (i + 1)} - \sqrt[]{m^{2} i}

megtaláltuk a keresett

n

-et és

k

-t

m^{2} (i + 1)

, illetve

m^{2} i

alakban.
Ha

a < b \leq 0

, akkor

- a > - b \geq 0

, ezekhez van olyan

n

k

természetes szám, hogy

- a > \sqrt[]{n} - \sqrt[]{k} > - b

, ahonnan

a < \sqrt[]{k} - \sqrt[]{n} < b

következik.
Végül

a < 0 < b

esetben minden

n = k

választás megfelel.

Spissich László (Pápa, Türr I. Gimn., IV. o. t.)