A kívánt csoportosítás nyilván csak akkor végezhető el, ha az $1$-től $n$-ig terjedő természetes számok összege osztható $3$-mal. Mivel ez az összeg $n\left(n+1\right)/2$, a megoldhatóság szükséges feltétele, hogy $n$ vagy $n+1$ osztható legyen $3$-mal.
A teljes indukció módszerével bebizonyítjuk, hogy $n>3$ esetén ez a feltétel elegendő is. (Ha a $n\le 3$, nyilvánvalóan nem képezhetünk megfelelő csoportokat.)
$n=5$ esetén a csoportokba bontás lehetséges. Az egyes csoportok: $\left\{1;4\right\}$, $\left\{2;3\right\}$, $\left\{5\right\}$.
$n=6$ esetén pedig: $\left\{1;6\right\}$, $\left\{2;5\right)$, $\left\{3;4\right\}$.
Belátjuk, hogy ha a csoportokba bontás $n$-re lehetséges, akkor lehetséges $\left(n+3\right)$-ra is.
Tekintsünk az $1$, $2$, $3$, $\text{...}$, $n$ természetes számok a feladatnak megfelelő csoportjait. Ha az $1$-et kivesszük csoportjából és helyére az $n+3$ számot tesszük, továbbá majd az $1$-et és vele az $\left(n+1\right)$-et egy másik csoportba helyezzük el, végül a fennmaradó csoportba $n+2$ kerül, akkor mindhárom csoportban $n+2$-vel nő a számok összege, az egyes csoportokba tartozó számok összege tehát továbbra is egyenlő. Összefoglalva: a kívánt csoportosítás akkor és csak akkor lehetséges, ha $n=3k$, vagy $n=3k-1$, ahol $k\ge 2$ egész szám.