|
Feladat: |
F.2070 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Balogh J. , Csikós B. , Erdődy Gizella , Hazag T. , Homonnay G. , Józsa M. , Knébel I. , Krizsán J. , Németh E. , Slezák T. , Tóth Csaba (Sopron) |
Füzet: |
1977/május,
205 - 206. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Magasságvonal, Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/december: F.2070 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az középpont kívánt helyzete miatt a háromszög nem lehet sem tompaszögű, sem derékszögű. Továbbá a csak kisebb lehet és mindegyikénél, különben pl. az oldal felező merőlegesének nincs pontja a szakaszon, tehát sem lehet rajta. Ezek szerint .
és a átmérőjű Thalész-körön vannak, ezért . felezőpontját -lal jelölve , és
ez egy szög-feltétel a vizsgált háromszög-osztályra. Átrendezve, trigonometriai azonosságok ismételt alkalmazásával
Ennek alapján megválasztott mellett kiszámítható és , ennek diszkussziójából kapjuk a keresett korlátokat. Mivel , azért
és mivel a második tényező mindig pozitív, azért
Rögzített mellett és említett számítása:
egyenlőség a fenti mellett áll be: . Mármost a korlátozás miatt (2)-ből ebből a cosinusfüggvény szigorúan monoton csökkenése alapján egyrészt , másrészt . Ha csökkenve tart -hoz, akkor növekedve tart -hoz, mellett , , és a -ben adódik, már nem belső pontja a szakasznak. Mindezek szerint a korlátok
Ezek mellett tejesül is a követelmény, mert számításaink megfordíthatóak. |
|