Kezdőlap


Feladat:	F.2069	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1977/május, 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenlőtlenségek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: F.2069

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó egyenlőtlenséggel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, ha mindkét oldalt az $a - 1 > 0$ számmal végigosztjuk:

\begin{matrix} \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n - 1}}{n} < \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{k - 1}}{k} . \end{matrix}

(1)

Az (1) egyenlőtlenség bal oldalán

n

pozitív szám számtani közepe áll, jelöljük ezt

A

-val. A számok közül

a^{n - 1}

a legnagyobb, így

A < a^{n - 1}

. Az (1) jobb oldalának számlálójában az

1 + a + ... + a^{n - 1} (n < k)

összeg éppen

n A

, a többi

(n - k)

tag mindegyike nagyobb

a^{n - 1}

-nél, így ezek összege nagyobb

(k - n) A

-nál. Az (1) egyenlőtlenség jobb oldalán álló számot tehát csökkentjük, ha helyébe ezt írjuk:

\begin{matrix} \frac{n A + (k - n) A}{k} = A, \end{matrix}

ami épp az (1) bal oldalán álló szám.