Kezdőlap


Feladat:	F.2067	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Knébel István
Füzet:	1977/április, 157 - 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: F.2067

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számot $N$ -nel ( $N$ negatív is lehet). $N$ prímtényezői azok és csak azok a prímszámok, amelyek összes osztóinak szorzatában szerepelnek. Ezért $N = 2^{l} \cdot 3^{m} \cdot 5^{n}$ ( $l$ , $m$ , $n$ pozitív egész számok). Jelölje $d (N)$ az $N$ szám összes pozitív osztóinak számát, $P$ pedig a szorzatukat. Ha $N$ nem négyzetszám, akkor $N$ minden pozitív osztójának van egy tőle különböző pozitív osztó párja, amellyel alkotott szorzata $| N |$ , ezért $P = | N |^{\frac{d (N)}{2}}$ . Ha $N$ négyzetszám, akkor is elvégezhetjük a párosítást egy pozitív osztó, a $\sqrt[]{| N |}$ kivételével. Ekkor

\begin{matrix} P = | N |^{\frac{d (N) - 1}{2}} \sqrt[]{| N |} = | N |^{\frac{d (N)}{2}} . \end{matrix}

Minden esetben tehát

\begin{matrix} P = | N |^{\frac{d (N)}{2}} \end{matrix}

N = 2^{l} \cdot 3^{m} \cdot 5^{n}

alakjából következik, hogy

d (N) = (l + 1) (m + 1) (n + 1)

, hiszen

N

pozitív osztói a

2^{i} \cdot 3^{j} \cdot 5^{k}

számok, ahol

0 ≦ i ≦ l

0 ≦ j ≦ m

0 ≦ k ≦ n

egész számok,

i

j

k

egymástól függetlenül rendre

l + 1

m + 1

n + 1

különböző értéket vehetnek fel. Az eddigiek alapján

\begin{matrix} 2^{120} \cdot 3^{60} \cdot 5^{90} = {(2^{l} \cdot 3^{m} \cdot 5^{n})}^{\frac{(l + 1) (m + 1) (n + 1)}{2}} \end{matrix}

(1)

Ebből kiolvasható, hogy

l : m : n = 120 : 60 : 90

,
vagyis:

\begin{matrix} l & = 4 t \\ m & = 2 t \end{matrix}