Feladat: F.2065 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Agg F. ,  Ármós L. ,  Baksai R. ,  Belénessy Zs. ,  Benkő T. ,  Bozai Éva ,  Cseke I. ,  Csikós B. ,  Furó István ,  G. Horváth Á. ,  Gubics J. ,  Héder J. ,  Homonnay G. ,  Horváth A. ,  Horváth Zs. ,  Ivanyos G. ,  Kiss 361 L. ,  Knébel I. ,  Kőrösi G. ,  Kozma J. ,  Laszip A. ,  Lenkei P. ,  Mészáros Gy. ,  Mikola P. ,  Nemes I. ,  Pintér I. ,  Pósafalvi A. ,  Rapai T. ,  Rátkai S. ,  Sas V. ,  Simon B. ,  Somogyi Á. ,  Spissich L. ,  Surány G. ,  Szabó Kálmán ,  Szabó Sándor ,  Szabó Tamás ,  Székely Z. ,  Szigeti A. ,  Szőke R. ,  Tábori L. ,  Tóth T. ,  Vajda Júlia ,  Vargha Tivadar ,  Vékony Cs. ,  Zempléni A. 
Füzet: 1977/március, 109 - 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/november: F.2065

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek A,B,C a k körlemez tetszőleges (nem egy egyenesen levő) pontjai, és válasszuk eleve úgy a betűzést, hogy az ABC háromszögnek ne legyen az A-nál levő szögénél kisebb szöge. Tükrözzük az AC egyenest az AB egyenesre.

 

 

Mivel a kapott egyenes legalább annyira odahajlik az AB egyeneshez, mint a BC, azt vagy BC-nek B-n túli meghosszabbításában metszi, vagy párhuzamos vele. Akárhogy is van, az ABC háromszög A-n túli S csúcsszögtartományát az AB egyenesre tükrözve, az S' kép teljes egészében az AC szakaszhoz csatlakozó T tartományba jut.
Ha a k kör O középpontja az AB egyenes C-vel ellentétes oldalán, vagy az AB egyenesen volna, a körlemez AB-n túli három darabja együtt nagyobb területű volna, mint az ABC háromszög oldalán levő négy darab. Csak olyan elrendezés jöhet tehát szóba, amelyben O az AB-nek C-t tartalmazó oldalán van. Ekkor viszont S-nek k-beli Sk részét AB-re tükrözve a tükörkép k-ban is, T-ben is benne lesz, tehát Sk területe kisebb, mint a T-ből k-hoz tartozó Tk rész területe.
Mivel minden esetet megvizsgáltunk, és mindig találtunk a két rész között eltérő területűeket, a feladat állítását igazoltuk.