Feladat: F.2064 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1977/március, 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/november: F.2064

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy konvex négyszögben az egyik átlóból és két szemközti oldalból mindig egy törött vonal állítható össze. Jelöljük a szóban forgó adatokból összeállítható törött vonal csúcsait rendre A-val, B-vel, C-vel és D-vel.

 

 

Mivel AD a négyszög másik átlója, az ABCD törött vonal úgy áll, hogy az AD és BC szakaszok metszik egymást. Jelöljük még az AB,BC,CD szakaszok hosszát rendre x,y,z-vel, akkor x+y+z=16, és az ABC,BCD háromszögek területének összege 32. Ez utóbbi legfeljebb (xy+yz)/2=y(x+z)/2, ami az y és (x+z) számok számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenség miatt legfeljebb 12(162)2, és ez épp 32. Emiatt y=x+z=8, és az ABC,BCD háromszögek derékszögűek. Tehát AD2=y2-(x+z)2=2⋅82,AD=82 az egyetlen lehetséges érték a másik átló hosszára.