Kezdőlap


Feladat:	F.2061	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hajnal Péter , Kőkúti Róbert
Füzet:	1977/április, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/november: F.2061

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk a $cos x^{2}$ függvény pozitív zérushelyeinek elhelyezkedését. A nagyság szerint $k$ adik zérushely

\begin{matrix} x_{k} = \sqrt[]{(2 k - 1) \frac{π}{2}} (k = 1, 2, 3, ...) . \end{matrix}

A szomszédos zérushelyek távolsága:

\begin{matrix} x_{k + 1} - x_{k} = \sqrt[]{(2 k + 1) \frac{π}{2}} - \sqrt[]{(2 k - 1) \frac{π}{2}} = \frac{\sqrt[]{2 π}}{\sqrt[]{2 k + 1} + \sqrt[]{2 k - 1}} . \end{matrix}

Ebből látható, hogy a szomszédos zérushelyek távolsága egyre csökken:

\begin{matrix} x_{k + 2} - x_{k + l} < x_{k + l} - x_{k} . \end{matrix}

Emiatt a

cos x^{2}

függvény valóban nem lehet periodikus, hiszen ha az lenne, az origótól tetszőlegesen messze is fordulnának elő olyan szomszédos gyökhelyei, amelyek távolsága megegyezik

(x_{2} - x_{1})

-gyel.

Hajnal Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a

cos x^{2}

függvény periodikus, periódusát jelöljük

p

-vel

(p > 0)

. Ekkor minden valós

x

-re

\begin{matrix} cos {(x + p)}^{2} = cos x^{2}, \end{matrix}

(1)

ahonnan azt kapjuk, hogy minden rögzített

x

-re van olyan

k

egész szám, hogy vagy

\begin{matrix} {(x + p)}^{2} = x^{2} + 2 k π, \end{matrix}

(2)

vagy

\begin{matrix} {(x + p)}^{2} = - x^{2} + 2 k π . \end{matrix}

(3)

A (2) egyenlet minden rögzített

k

-ra elsőfokú, így pontosan egy

x

érték elégíti ki, a (3) egyenlet minden rögzített

k

-ra másodfokú, így legfeljebb két valós

x

érték elégíti ki. A (2) és (3) egyenlőségeket kielégítő összes különböző valós számok tehát csak megszámlálható halmazt alkotnak. Így ellentmondásra jutottunk, az (1) egyenletet nem elégítheti ki minden valós szám, tehát

cos x^{2}

függvény nem periodikus.

Kőkúti Róbert (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.)