Kezdőlap


Feladat:	F.2057	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1977/február, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: F.2057

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételben szereplő egyenletet alkalmas azonos átalakításokkal a következő alakra hozhatjuk:

\begin{matrix} (3 x + 3 y + 1) (x - y) = x^{2}, & (1) \\ (2 x + 2 y + 1) (x - y) = y^{2} . & (2) \end{matrix}

x

és

y

egészekre (1) és (2) is teljesül tehát, a két egyenlőség szorzatát képezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (3 x + 3 y + 1) (2 x + 2 y + 1) {(x - y)}^{2} = {(x y)}^{2} \end{matrix}

(3)

is fennáll.
Ha (3) jobb oldala,

x y = 0

, akkor vagy

x = 0

, vagy

y = 0

és a bal oldal is

0

. Könnyen ellenőrizhető, hogy a bal oldal első két tényezője ebben az esetben nem lehet nulla, így csak

x = y = 0

állhat fenn, ekkor

2 x + 2 y + 1 = 1

és

3 x + 3 y + 1 = 1

is négyzetszám.
Tegyük fel, hogy

x y \neq 0

. Ekkor a (3) egyenlőségből következik, hogy

(3 x + 3 y + 1) (2 x + 2 y + 1)

négyzetszám. Megmutatjuk még, hogy

3 x + 3 y + 1

és

2 x + 2 y + 1

relatív prímek, ebből már következik, hogy mindkettő külön-külön is négyzetszám.
Ha volna olyan

p

prímszám, ami osztója a

3 x + 3 y + 1

és a

2 x + 2 y + 1

számoknak, akkor

p

osztója a különbségüknek,

x + y

-nak is és így a

2 x + 2 y + 1 - 2 (x + y) = 1

számnak is, ami nem igaz. A

3 x + 3 y + 1

és

2 x + 2 y + 1

számok tehát relatív prímek.