Feladat: F.2056 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Balázs I. J. ,  Barna A. ,  Beringer P. ,  Bozóky-Szeszich E. ,  Csikós B. ,  Dózsa G. ,  Erdélyi T. ,  Filakovszky P. ,  Hajnal P. ,  Iván T. ,  Ivanyos G. ,  Józsa M. ,  Knébel István ,  Koncz K. ,  Lenkei P. ,  Nagy 652 L. ,  Szabó 284 Sándor ,  Vándor T. ,  Varga 858 Gy. 
Füzet: 1977/február, 63 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/október: F.2056

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy h egy olyan függvény, amelyik kielégíti a feltételeket, azaz minden valós számra értelmezve, van minden valós értéket pontosan egyszer vesz fel és minden valós x-re teljesül, hogy

h(x2+ax+b)=(h(x))2.(1)
A (h(x))2 függvény minden pozitív valós számot pontosan kétszer vesz fel, a 0-t pedig egyszer. Az
x2+ax+b=(x+a2)2+b-a24
függvény a minimumát x=-a2-nél veszi fel, minden más ‐ a minimumnál nagyobb ‐ értéket pontosan kétszer vesz fel. Ebből következik ‐ figyelembe véve a h függvény tulajdonságát ‐, hogy x=-a2 -re az (1) egyenlőség mindkét oldala 0 értéket ad, azaz
h(b-a24)=h(-a2)=0.
Mivel a h függvény a 0-t is csak egy helyen veszi fel, tehát
b-a24=a2(2)
szükséges feltétele annak, hogy a két függvény hasonló legyen.
A (2) feltétel teljesülése elégséges is, mert például a h(x)=x+a2 függvény kielégíti a feladat feltételeit.
 

 Knébel István (Budapest, József A. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Könnyen ellenőrizhető, hogy a feladat feltételeit a
h(x)=(x+a2)2k-1(k=0,1,2,...)
függvények mind kielégítik.
2. A feltételeket kielégítő h függvénynek van inverz függvénye is, jelöljük ezt h-1-gyel. A h-1 függvény szintén kielégíti a feltételeket, ha f és g szerepét felcseréljük, azaz a h(f(x))=g(h(x)) egyenlőtlenségből h-1(g(x))=f(h-1(x)) következik. Az f és g függvények szerepe tehát szimmetrikus.