Kezdőlap


Feladat:	F.2055	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Pethő Attila
Füzet:	1977/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: F.2055

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelölést:

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + 2}} + ... + \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + n}} . \end{matrix}

a_{n}

összeg minden tagja

\frac{1}{n}

-nél kisebb, így

\begin{matrix} a_{n} < n \cdot \frac{1}{n} = 1. \end{matrix}

a_{n}

összeg tagjai nem kisebbek

\frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + n}}

-nél és

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + n}} > \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} + 2 n + 1}} = \frac{1}{n + 1}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} a_{n} > n \cdot \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} > 1 - \frac{1}{n} . \end{matrix}

Pethő Attila (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Mivel

{lim}_{n \to \infty}^{} (1 - \frac{1}{n}) = 1

, a feladatban szereplő egyenlőtlenségből következik, hogy

{lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = 1