Kezdőlap


Feladat:	F.2054	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kulcsár Ernő
Füzet:	1977/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Térgeometria alapjai, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: F.2054

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsünk papírmodellt az alakzatról, az ötszög oldalát egységnyinek választva. $A B C$ és $A E D$ egyenlő szárú derékszögű háromszögek, így $A C = A D = \sqrt[]{2}$ , tehát $A C D$ egyenlő szárú háromszög, és a $C D = 1$ alapján levő szögek nagyobbak, mint $60^{\circ}$ . Megszerkesztve egymás után az $A B^{*} C$ , $A C D$ , $A D E^{*}$ háromszöget (1. ábra), a (kivágott) $A B^{*} C D E^{*}$ ötszög oldalai egyenlők, másrészt $C$ -nél és $D$ -nél levő szögei nagyobbak az előírt derékszögnél ( $45^{\circ} + 60^{\circ}$ -nál).

1. ábra

Rögzítsük az

A C D = S_{1}

síkot, fordítsuk el az

A B^{*} C

háromszöget

A C

körül,

A D E^{*}

-ot

A D

körül addig, míg

C B^{*}

-nak új,

C B

helyzete merőleges lesz

C D

-re, illetve míg

D E

merőleges lesz

D C

-re, és kövessük

B^{*}

és

E^{*}

S_{1}

-en levő vetületének útját (2. ábra).

2. ábra

Az elfordulás közben a vetület, az

A C

, illetve

A D

szakasz felező merőlegesen mozog, és a kívánt

B'

E'

helyzetben

B' C

és

E' D

merőlegesek

C D

-re. Ezekből

B'

E'

S_{1}

-ben megszerkeszthetők, nyilvánvalóan egymás tükörképei a

C D

szakasz

A F

felező merőlegesére, és

B C = E D

rövidült képeinek,

B' C

és

E' D

-nek egyenlősége alapján

B

-nek és

E

-nek

S_{1}

-től való távolsága is egyenlő.
Ha a két elfordítás

B

és

E

mindegyikét az

S_{1}

fölé emelné, vagy ha mindkettő az

S_{1}

alá jutna, akkor

B E

párhuzamos, lenne

C D

-vel és ez a

4

csúcs egy síkban lenne. Ezt a feladat kizárta, tehát

B

és

E

S_{1}

két oldalára jut, és a

C D

oldal felezőpontját

F

-fel jelölve, az alakzatot az

A F

tengely körüli félfordulat önmagába viszi át. Így az

A B F E

négyszög síkidom, deltoid,

E A B ∢ = 2 E A F ∢

, és az

E A F

háromszögben

A F = \sqrt[]{7} / 2

E F = \sqrt[]{5} / 2

, tehát

\begin{matrix} cos E A F ∢ = \frac{A E^{2} + A F^{2} - E F^{2}}{2 A E \cdot A F} = \frac{3}{2 \sqrt[]{7}}, \end{matrix}

így

cos E A B ∢ = - 5 / 14

, a keresett szög

110^{\circ} 55'

Kulcsár Ernő (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az

5

oldal és a

4

szög egyértelműen határozta meg a térbeli (torz-) ötszögünket. Ez általában is így van. Síksokszöget egyik csúcsából átlóival háromszögekre vágva az első háromszöget

3

adat határozza meg, az egymás után kapcsolódókat a közös oldalszakaszra tekintettel

2

új adat. Ezekhez a térben minden ilyen törésvonal esetében valahogyan meg kell adni a részháromszögek síkjainak egymáshoz való hajlását, tehát az újabb és újabb részháromszögekhez egyenként

3

adat szükséges.