Feladat:	F.2050	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/január, 8 - 9. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: F.2050

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(f\left(a\right)\mathrm{,}f\left(b\right)\right)<f\left(x\right)<\underset{}{\overset{}{\text{max}}}\left(f\left(a\right)\mathrm{,}f\left(b\right)\right)}\end{array}$ (1) Megmutatjuk, hogy következik. Legyen $v$ tetszőleges valós szám, és mondjuk azt, hogy az $x\ne v$ szám kicsi, ha $f\left(x\right)<f\left(v\right)$, és nagy, ha $f\left(x\right)>f\left(v\right)$. Az nem lehet, hogy $f\left(x\right)=f\left(v\right)$ legyen, hiszen akkor egyetlen $x$, $v$ közti $u$-ban sem tudnánk $f\left(u\right)$-nak megfelelő értéket találni. Az sem lehet, hogy a $v$-nél kisebb számok között kicsik is, nagyok is legyenek. Ha ugyanis az $x_1<v$, $x_2<v$ számok különböző típusúak volnának, válasszuk $a$-nak közülük a kisebbiket, $b$-nek $v$-t, és $x$-nek $x_1$, $x_2$ közül a másikat. Ebben a szereposztásban nem teljesülhet (1), mert most nem $f\left(x\right)$ esik $f\left(a\right)$, $f\left(b\right)$ közé, hanem $f\left(b\right)$ az $f\left(a\right)$, $f\left(x\right)$ közé. Hasonlóan kapjuk, hogy egyformák a $v$-nél nagyobb számok is. Nem lehetnek azonban ugyanolyan típusúak, mint a $v$-nél kisebbek. Ha ugyanis az $a$, $b$ számok egyformák volnának (vagy mindkettő kicsi, vagy mindkettő nagy volna), és közrefognák $v$-t, $f\left(a\right)$, $f\left(b\right)$ nem foghatná közre $f\left(v\right)$-t. Nevezzük a $v$-t növő számnak, ha a nála kisebbek kicsik, és a nála nagyobbak nagyok, és fogyónak, ha a kisebbek nagyok, és a nagyobbak kicsik. Tudjuk már, hogy minden szám vagy növő, vagy fogyó. Megmutatjuk, hogy eszerint az osztályozás szerint a számok egyformák. Ha ugyanis a $v_1<v_2$ számok nem volnának egyformák, sem $f\left(v_1\right)<f\left(v_2\right)$ nem lehetne, (mert akkor $v_1$ is, $v_2$ is növő volna), sem $f\left(v_1\right)>f\left(v_2\right)$ nem lehetne, (mert így mindkettő fogyó volna). Nyilván $f\left(v_1\right)=f\left(v_2\right)$ sem lehet, tehát a számok valóban egyformák. Ha mind növő, $f$ is növő, ha pedig mind fogyó, $f$ is fogyó. Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.