A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tegyük fel, hogy olyan szám, amelyhez van olyan , , hogy és az , számok kielégítik az (1) egyenlőtlenséget. Ekkor (1)-ben helyére -et helyettesítve, a kapott | | (2) | egyenlőtlenségnek van megoldása -re. A (2) egyenlőtlenség bal oldalán álló, -ben másodfokú polinomnak tehát a diszkriminánsa nem negatív. Ebből -re a következő feltételt kapjuk: Mivel a (3) egyenlőtlenség bal oldalán álló másodfokú polinomban együtthatója negatív, értéke a polinom két gyöke között lehet (beleértve a gyököket is): Megmutatjuk, hogy a (4) egyenlőtlenséget kielégítő bármelyik szám megoldása e feladatnak. Ha ugyanis eleget tesz e (4) egyenlőtlenségnek, akkor kielégíti (3)-at is. Ebből viszont következik, hogy van olyan , amelyik kielégíti a (2) egyenlőtlenséget. Egy ilyen és az számpár viszont eleget tesz az (1) egyenlőtlenségnek is. A feladat feltételeit tehát a (4) egyenlőtlenséget kielégítő számok és csak ezek teljesítik.
II. megoldás. Az (1) egyenlőtlenséget a helyettesítéssel alakra hozhatjuk. Az (5) egyenlőtlenséget kielégítő koordinátájú pontok a síkon a középpontú sugarú körvonalon és a kör belsejében vannak.
Azok az koordinátájú pontok, amelyek a egyenlőségnek megfelelő egyenlőséget kielégítik, a síkon a egyenesen vannak. A feladatot ennek alapján úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adjuk meg mindazokat a értékeket, amelyekre a (6) egyenletű egyenesnek az (5) egyenlőtlenséggel jellemzett körlemezzel van közös pontja. A (6) egyenletű egyenesek párhuzamosak. Keressük ki ezek közül a kör két érintőjét ‐ ezeknek még van közös pontjuk a körlemezzel ‐, a feladat megoldását a két párhuzamos érintőhöz tartozó értékek közötti számok adják. Az kör meredekségű érintői egyszerű számolással meghatározhatók, az ezekhez tartozó értékek: és . A feladat megoldását tehát az egyenlőtlenséget kielégítő számok adják. Balázs Iván József (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |
|