Feladat:	F.2049	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs Iván József
Füzet:	1977/január, 7 - 8. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: F.2049

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+4y^2+8y+4\le 4x\mathrm{.}}\end{array}$ (1) I. megoldás. Tegyük fel, hogy $p$ olyan szám, amelyhez van olyan $x$, $y$, hogy $p=x+y$ és az $x$, $y$ számok kielégítik az (1) egyenlőtlenséget. Ekkor (1)-ben $y$ helyére $\left(p-x\right)$-et helyettesítve, a kapott $\begin{array}{c}{\displaystyle 5x^2-4\left(2p+3\right)x+4\left(p^2+2p+1\right)\le 0}\end{array}$ (2) egyenlőtlenségnek van megoldása $x$-re. A (2) egyenlőtlenség bal oldalán álló, $x$-ben másodfokú polinomnak tehát a diszkriminánsa nem negatív. Ebből $p$-re a következő feltételt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle -p^2+2p+4\ge 0.}\end{array}$ (3) Mivel a (3) egyenlőtlenség bal oldalán álló másodfokú polinomban $p^2$ együtthatója negatív, $p$ értéke a polinom két gyöke között lehet (beleértve a gyököket is): $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\sqrt[]{5}\le p\le 1+\sqrt[]{5}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Megmutatjuk, hogy a (4) egyenlőtlenséget kielégítő bármelyik $p$ szám megoldása e feladatnak. Ha ugyanis $p$ eleget tesz e (4) egyenlőtlenségnek, akkor kielégíti (3)-at is. Ebből viszont következik, hogy van olyan $x$, amelyik kielégíti a (2) egyenlőtlenséget. Egy ilyen $x$ és az $y=p-x$ számpár viszont eleget tesz az (1) egyenlőtlenségnek is. A feladat feltételeit tehát a (4) egyenlőtlenséget kielégítő $p$ számok és csak ezek teljesítik.   II. megoldás. Az (1) egyenlőtlenséget a $z=2y$ helyettesítéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-2\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2\le 4}\end{array}$ (5) alakra hozhatjuk. Az (5) egyenlőtlenséget kielégítő