|
Feladat: |
F.2048 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Bodó Z. , Brindza B. , Csapó Ildikó , Csikós B. , Friedl Katalin , Horváth 117 L. , Juhász Veronika , Kappelmayer G. , Knébel I. , Magyar Zoltán , Márkus G. , Miklós D. , Nagy L. , Spissich L. , Szabó 167 F. , Szigeti A. , Tóth Cs. |
Füzet: |
1976/november,
135 - 137. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Diszkusszió, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/május: F.2048 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. ábra A körülírt körnek -ból induló átmérője és a szakasz is a keresett -ből derékszögben látszik, akár az szakaszon keletkezik , akár a meghosszabbításán. A átmérőjű Thalesz-kör átmegy -n és a alap felezőpontján is. Az félegyenesek -nek szelői, ezért Jelöljük és kisebbikét -szel, így a nagyobbik a követelmény szerint , és (a másik gyökre , vagyis és nagyobbika). Egyenletünk átrendezése alapján annak az egyenlő szárú háromszögnek az alapja, amelynek a szárai és szögük (2. ábra), más szóval a sugarú körbe írt szabályos 10-szög oldala.
2. ábra Eszerint megszerkeszthető a (szabályos 5-szög révén) ismert Ptolemaiosz-féle szerkesztéssel; sőt abból a átfogónak az ellentétes irányba való forgatásával () is kiadódik. Most már az körüli sugarú kör mindenesetre metszi -t, hiszen , a metszéspont megfelel -ként és meghatározza a keresett félegyenest (az -ra való szimmetria alapján elég venni az egyik metszéspontot). Előfordulhat, hogy a szakaszt is metszi vagy éppen érinti, ekkor a közös pont második megoldásként megfelel szerepére. Ennek feltétele | | , és ennek megfelelően a megoldások száma 4, 3, illetve 2. Magyar Zoltán (Budapest, Jedlik Á. Gimn., III. o. t.)
Megjegyzések. 1. Két érdekes speciális eset: , azaz mellett , ami a -ba írt szabályos 10-szög oldala, és , ami a 10-szög 3 oldalát levágó átló, a szabályos csillagtízszög oldala; mellett pedig . 2. Ezúttal is sok a nem teljes dolgozat, beküldőik megelégedtek 1 megoldással, amit talán a ,,magas'' kiindulási háromszög okozhatott, a tompaszögtől való ,,irtózás''. |
|