Kezdőlap


Feladat:	F.2047	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/november, 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: F.2047

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Először belátjuk, hogy az első játékos el tudja érni az $A B C$ háromszög $t$ területének negyedrészét. Válassza $P$ -t az $A B, R$ -et az $A C$ oldal felezőpontjában, ekkor $P R = \frac{1}{2} B C$ , és $Q$ választásától függetlenül $m_{Q} = \frac{1}{2} m_{a}$ , azaz $t_{P Q R} = \frac{1}{4} t_{A B C}$ .

II. Belátjuk, hogy a második játékos el tudja érni, hogy a

P Q R

háromszög területe ne legyen nagyobb

t / 4

-nél. Játsszon úgy, hogy

P Q ∥ A C

legyen (ha

P \equiv B

, akkor

Q \equiv B

legyen), ekkor

P Q B Δ ≅ A C B Δ

, így

P Q = λ \cdot A C

bevezetésével

\begin{matrix} t_{P Q R} = \frac{λ \cdot A C \cdot m_{b} (1 - λ)}{2} \end{matrix}

Innen a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk:

\begin{matrix} t_{P Q R} = \frac{A C \cdot m_{b}}{2} \cdot λ \cdot (1 - λ) \leq t_{A B C} \cdot \frac{1}{4} . \end{matrix}

Így az elérhető legnagyobb terület az

A B C

háromszög területének egynegyede.