Kezdőlap


Feladat:	F.2045	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Brindza B. , Csikós B. , Horváth M. , Kiss 311 B. , Knébel I. , Koncz K. , Magyar Z. , Nagy L. , Prischetzky G. , Rapai T. , Révész Sz. Gy. , Soukup L. , Tankovits T.
Füzet:	1976/december, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: F.2045

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $P (1, y)$ egy változós polinomot $Q (y)$ -nal, $(k - 1)$ -et $m$ -mel. Válasszuk $u_{1}$ , $u_{2}$ , $...$ , $u_{m}$ értékét egyenlőnek, közös értéküket jelöljük $a$ -val, és legyen

\begin{matrix} u_{k} = 1 - m a . \end{matrix}

Feladatunk b) feltétele szerint a

Q

polinomra

\begin{matrix} m Q (a) + Q (1 - m a) = 0 \end{matrix}

(1)

teljesül. Mivel

Q

polinom, (1) bal oldalán

a

-nak is egy polinomja áll, amelyről tudjuk, hogy mindenütt 0. Ennek a polinomnak tehát minden együtthatója 0-val egyenlő. Emiatt

Q

csak elsőfokú lehet, hiszen ha

Q

mondjuk

s

-edfokú, és benne az

s

-edfokú tag együtthatója

A

, akkor (1) bal oldala is legfeljebb

s

-edfokú, és benne

a^{s}

együtthatója

\begin{matrix} A (m + {(- m)}^{s}), \end{matrix}

ami

m \geq 2

miatt

A \neq 0

esetén csak

s = 1

mellett lehet 0.
Tehát

Q

elsőfokú:

Q (y) = A y + B

, amit (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} m (A a + B) + A (1 - m a) + B = 0, \end{matrix}

vagyis

A = - k B

Q (y) = B (1 - k y)

. (Itt már persze

B

értéke 0 is lehet).
Ha

x \neq 0

\begin{matrix} P (x, y) = x^{n} P (1, \frac{y}{x}) = x^{n} Q (\frac{y}{x}) = B x^{n - 1} (x - k y) . \end{matrix}

Mivel tetszőleges rögzített

y

mellett az egy változós

P (x, y)

, és

B x^{n - 1} (x - k y)

polinomok minden

x \neq 0

értékre megegyeznek, szükségképpen

x = 0

mellett is egyenlőek. Így a mondott feltételeknek csak a

\begin{matrix} P (x, y) = B x^{n - 1} (x - k y) \end{matrix}

polinomok felelhetnek meg, ahol

B

tetszőleges konstans. Mint az könnyen ellenőrizhető, ezekre az a), b) feltételek valóban teljesülnek.

Megjegyzés. Feladatunk az 1975. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia egyik feladatának az általánosítása (vö. F. 2015. megoldása a KÖMAL 52/5 (1976) 210‐212. oldalain).