|
Feladat: |
F.2045 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Brindza B. , Csikós B. , Horváth M. , Kiss 311 B. , Knébel I. , Koncz K. , Magyar Z. , Nagy L. , Prischetzky G. , Rapai T. , Révész Sz. Gy. , Soukup L. , Tankovits T. |
Füzet: |
1976/december,
204 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Műveletek polinomokkal, Polinomok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/május: F.2045 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a egy változós polinomot -nal, -et -mel. Válasszuk , , , értékét egyenlőnek, közös értéküket jelöljük -val, és legyen Feladatunk b) feltétele szerint a polinomra teljesül. Mivel polinom, (1) bal oldalán -nak is egy polinomja áll, amelyről tudjuk, hogy mindenütt 0. Ennek a polinomnak tehát minden együtthatója 0-val egyenlő. Emiatt csak elsőfokú lehet, hiszen ha mondjuk -edfokú, és benne az -edfokú tag együtthatója , akkor (1) bal oldala is legfeljebb -edfokú, és benne együtthatója ami miatt esetén csak mellett lehet 0. Tehát elsőfokú: , amit (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy vagyis , . (Itt már persze értéke 0 is lehet). Ha , | | Mivel tetszőleges rögzített mellett az egy változós , és polinomok minden értékre megegyeznek, szükségképpen mellett is egyenlőek. Így a mondott feltételeknek csak a polinomok felelhetnek meg, ahol tetszőleges konstans. Mint az könnyen ellenőrizhető, ezekre az a), b) feltételek valóban teljesülnek. Megjegyzés. Feladatunk az 1975. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia egyik feladatának az általánosítása (vö. F. 2015. megoldása a KÖMAL 52/5 (1976) 210‐212. oldalain). |
|