Feladat:	F.2043	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/október, 63. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: F.2043

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x^2+1\right)}^y-{\left(x^2-1\right)}^y=2x^y}\end{array}$ (1) Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a pozitív ${\left(x^2+1\right)}^y$-nal, és csoportosítsuk át a tagokat: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)}^y+2{\left(\frac{x}{x^2+1}\right)}^y=1.}\end{array}$ (2) Ha $x\ge 1$, a bal oldalon mindkét alap nem negatív és 1-nél kisebb, tehát a bal oldal értéke rögzített $x$ mellett $y$ monoton fogyó függvénye. Ha $y=2$, a bal oldal értéke $\left(x^4+1\right)/\left(x^4+2x^2+1\right)$, ami mindig kisebb, mint 1, tehát csak $y=1$ jöhet szóba. Ekkor (2) gyöke $x=1$, tehát az egyetlen megoldás: $x=y=1$.   Megjegyzés. Ha $x=0$, és $y>0$, (2) bal oldalán ${\left(-1\right)}^y$ áll, ami tetszőleges páros $y$ mellett egyenlő 1-gyel. Ha $y=0$ és $x>0$, (2) bal oldalának értéke nem lehet 1. Ha $x=y=0$, a második tag nincs értelmezve. Ha tehát a nullát is a természetes számok közé soroljuk, a megoldások köre az $x=\mathrm{0,}y$ tetszőleges páros szám értékekkel bővül.