Kezdőlap


Feladat:	F.2042	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Baksai R. , Balázs I. J. , Bodó Z. , Brindza B. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Gulyás M. , Honos A. , Horváth 169 T. , Horváth 238 L. , Józsa M. , Kappelmayer G. , Knébel I. , Lévai L. , Lovász A. , Magyar Z. , Nagy L. , Nemes I. , Rapai T. , Révész Sz. Gy. , Soukup L. , Surány G. , Szabó 719 K. , Szőke R.
Füzet:	1976/december, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Eltolás, Permutációk, Poliéderek súlypontja, Szabályos tetraéder, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: F.2042

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) Az I. o. tankönyvből ismert tétel szerint $P_{12}$ -t $P$ -ből egyszerűbben, egyetlen lépésben az $\vec{12}$ (olvasd: egy, kettő vektor) 2-szeresével való eltolás, transzláció állítja elő (mert általában az 12 szakasz a $P$ $P_{1} P_{12}$ háromszög középvonala, de akkor is érvényes ez, ha $P$ -t a 12 egyenesen választjuk).
Hasonlóan $P_{1234}$ -et $P_{12}$ -ből a $\vec{34}$ 2-szeresével való transzláció is megadja, így $P_{1234}$ -et $P$ -ből egyetlen lépésben megkapjuk az $\vec{12} + \vec{34}$ vektorösszeg 2-szeresével való eltolás révén.

b) Legyen a 4 tükrözési centrum egy tetszőleges permutációja

A

B

C

D

, és jellemezzük a

P_{A B C D}

-t

P

-ből előállító

t_{A B C D} = 2 (\vec{A B} + \vec{C D})

vektort (1. ábra).

1. ábra

A két összetevő hossza mindig egyenlő, mert a szabályos tetraéder élei egyenlők, másrészt mindig merőlegesek egy másra, mert

C A = C B

és

D A = D B

miatt

C

és

D

benne vannak az

A B

él felező merőleges síkjában. Így a vektorparalelogramma négyzetté specializálódik és

t

abszolút értéke

2 \sqrt[]{2} a

, ahol

a

a tetraéder élhossza. ‐ Mivel az összeadás kommutatív, tüstént látjuk, hogy

t_{C D A B} = t_{A B C D}

.
A vektor irányára áttérve, azt is könnyű látni, hogy a

D

C

B

A

és a

B

A

D

C

centrum‐sorrendek mellett a vektor nyilvánvalóan az előbbinek (

- 1

)-szerese. Jelöljük az

X Y

él felezőpontját

F_{X Y}

-nal és fussa be

X

és

Y

A

B

C

D

betűket. Így

2 \cdot \vec{A B} = 4 \cdot \vec{F_{A C} F_{B C}}

2 \cdot \vec{C D} = 4 \cdot \vec{F_{A C} F_{A D}}

, és

t_{A B C D} = 4 \cdot \vec{F_{A C} F_{B D}} = 8 \cdot \vec{F_{A C} O} = 8 \cdot \vec{0 F_{B D}}

, ahol

O

a tetraéder középpontja, egyben súlypontja, hiszen ez a 4 felezőpont egy paralelogramma (speciálisan négyzet) 4 csúcsa.
Ebből látjuk, hogy az eredő eltolási vektor 6 különböző értéket vehet fel:

8 \cdot \vec{O F_{X} Y}

, másrészt a sorrendben az

A

C

cserét, vagy a

B

D

cserét végezve, vagy mindkettőt, az eredmény ugyanaz. Az eredeti jelölés mellett pl.

P_{1234}

P_{1432}

P_{3412}

és

P_{3214}

azonosak.

II. megoldás. Tükrözzük

T

tetraéderünket az

O

középpontjára (amelyről az I. megoldás mintájára látható, hogy felezi a szemben levő élpárok felezőpontjait összekötő szakaszokat). Legyenek a

T'

kép csúcsai rendre 5, 6, 7, 8 (2. ábra).

2. ábra

Ez a 8 csúcs együtt egy kocka csúcsait adja. Bontsuk a

2 \cdot \vec{12}

és

2 \cdot \vec{34}

eltolási vektort kockaél‐irányú összetevőkre, így

\begin{matrix} t_{1234} = 2 (\vec{12} + \vec{34}) = 2 (\vec{18} + \vec{82} + \vec{36} + \vec{64}) = 4 \cdot \vec{82}, \end{matrix}

hiszen

\vec{36} = - \vec{18}

és

\vec{64} = \vec{82}

. Végül "szimmetrizáljuk'' az eredményt, hogy egyrészt ne szerepeljen benne a 8-as segédcsúcs, másrészt ne vigyen benne szerepet a végpontként szereplő 2-es centrum: vegyük a

\vec{82}

helyett a vele egyenlő és az

O

-n átmenő vektort:

\begin{matrix} t_{1234} = 4 \cdot \vec{F_{13} F_{24}} = 8 \cdot \vec{F_{13} O} = 8 \cdot \vec{O F_{24}}, \end{matrix}

az eltolás a kocka egyik irányított laptengelyének 4-szerese, másképpen a tetraéder egyik irányított éltengelyének 4-szerese, még másképpen: a

T

és

T'

közös részeként tekinthető szabályos oktaéder egyik irányított csúcstengelyének 4-szerese.
Innen látjuk, hogy a tükrözési sorrendben az 1 és 3, valamint a 2 és 4 centrumpárok egymástól független vagy együttes fölcserélése nem változtat az eredményen, és hogy a centrumok 24 permutációja 4-esével 6 különböző eredményét adja a tükrözési sorozatnak.

Megjegyzés. Tetszetősnek ígérkezik felhasználni ezt a tételt: egy alakzatot az

A B C D

paralelogramma csúcsaira egymás után tükrözve, visszajut eredeti helyzetébe (hiszen

\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}

). Eszerint

P_{123}

azonos az

E

-re való

P_{E}

tükörképpel, ahol

123 E

paralelogramma, így már

\vec{P P_{E 4}}

\cdot

\vec{E 4}

. A z o l v a s ó r a h a g y j u k a z e r e d m é n y s z i m m e t r i z á l á s á t p l . a z 13 é l f e l e z ő m e r ő l e g e s s í k j á b a n .

Vigassy Lajos Budapest