Kezdőlap


Feladat:	F.2036	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Hunyady László , Pászthory Róbert
Füzet:	1976/november, 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: F.2036

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ és $B$ pontban álló fák csúcsaitól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a csúcsok által meghatározott szakasz felező merőleges síkja. Ez a sík az $A B C D$ négyzetből egy, az $A B$ oldalra merőleges $E F$ szakaszt metsz ki. Legyen $B E = x$ és a négyzet oldala $a$ .

Ekkor

\begin{matrix} 13^{2} + x^{2} = 7^{2} + (a - x^{2}), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{a^{2} - 120}{2 a} . \end{matrix}

A B C D

négyzet azon pontjai, amelyek egyenlő távolságra vannak a

B

és

C

pontbeli fák csúcsaitól, hasonlóan egy, a

B C

-re merőleges

G H

szakaszon helyezkednek el. Legyen

C G = y

, ekkor

\begin{matrix} 17^{2} + y^{2} = 13^{2} + {(a - y)}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = \frac{a^{2} - 120}{2 a}, tehát x = y . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a három fa csúcsától egyenlő távolságra levő

O

pont a négyzet

A C

átlójára esik. Így a

D

-ben álló fa csúcsától mért távolsága csak akkor egyezik meg a másik hárommal, ha

D

-ben is 13 méter magas fa áll, amint

B

-ben.
A négy fa csúcsától egyenlő távolságra levő pont akkor esik a négyzet belsejébe, ha

x = y > 0

, azaz a

a > \sqrt[]{120} m = 10, 95 m

Pászthory Róbert (Budapest, I. László Gimn., III. o. t.)

Hunyady László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)