I. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszer origójának $O$-t, $x$ tengelyének $f$-et, és jelöljük az $E_1\mathrm{,}{E}_2$ pontok koordinátáit $E_1\left(x_1\mathrm{,}{y}_1\right)\mathrm{,}{E}_2\left(x_2\mathrm{,}{y}_2\right)$-vel.

Fi(xi;0), így $F_1{E}_2$ egyenlete

$\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{y_2}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)\mathrm{,}}\end{array}$

$F_2{E}_1$ egyenlete pedig

$\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{y_1}{x_1-x_2}\left(x-x_2\right)\mathrm{.}}\end{array}$

E két egyenes egymást az

$\begin{array}{c}{\displaystyle x_0=\frac{y_1{x}_2+y_2{x}_1}{y_1+y_2}\mathrm{,}{y}_0=\frac{y_1{y}_2}{y_1+y_2}}\end{array}$

koordinátájú pontban metszi, ezek $G$ koordinátái (tudjuk, hogy $G$ létrejön). $G$ tehát rajta van az

$\begin{array}{c}{\displaystyle y_1{y}_{2}x=\left(y_1{x}_2+y_2{x}_1\right)y}\end{array}$

egyenletű egyenesen, ami más alakban ($x_1{x}_2\ne 0$-val való osztás után)

$\begin{array}{c}{\displaystyle m_1{m}_{2}x=\left(m_1+m_2\right)y\mathrm{.}}\end{array}$

Ez valóban egyenes egyenlete, mert $m_1{m}_2=m_1+m_2=0$ csak $m_1=m_2=0$ mellett lehet, amikor $G$ nem jöhetne létre. Tehát $OG$ egyenlete csak az $e_1\mathrm{,}{e}_2\mathrm{,}f$ egyenesek helyzetétől függ, állításunkat ezzel igazoltuk.

 

  Magyar Zoltán (Budapest, Jedlik Á. Gimn., III. o. t.)

 

II. megoldás (vázlat). Jelöljük az egyenesek síkját $S_1$-gyel, és forgassuk el $f$ körül ${90}^{\circ }$-kal az $e_2$-vel és $E_2$-vel együtt, új helyzetüket jelöljük $S_2$-vel, $e_2^{*}$-gal, $E_2^{*}$-gal, a forgatás közben félúton kapott síkot $S_3$-mal.

 

 

Az $E_1{F}_2\mathrm{,}{E}_2^{*}{F}_1$ egyenesek az $E_1{E}_2^{*}$ egyenes $S_1\mathrm{,}{S}_2$-n levő vetületei, és ‐ mint az könnyen látható ‐ visszaforgatás után épp annak a  $G^{*}$-nak az $S_1$-en levő vetületében metszik egymást, amelyben $E_1{E}_2^{*}$ metszi $S_3$-t. Ez viszont $E_1{E}_2$, választásától függetlenül mindig rajta van $S_3$-nak és az $e_1{e}_2^{*}$ egyenesek által meghatározott $S$ síknak a $g^{*}$ metszésvonalán.