Kezdőlap


Feladat:	F.2033	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/október, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: F.2033

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a = x, b = x + y, c = x + y + z$ változókra (1) a

\begin{matrix} a + b + c = 10, a b + b c + c a = 27, a b c = 18 \end{matrix}

(2)

egyenletrendszert jelenti. Eszerint az

a, b, c

számok a

\begin{matrix} z^{3} - 10 z^{2} + 27 z - 18 = 0 \end{matrix}

(3)

egyenlet gyökei valamilyen sorrendben, hiszen (2) miatt (3) bal oldalán

(z - a) (z - b) (z - c)

áll. Mivel (3) bal oldalának értéke

z = 1

mellett 0,

z - 1

kiemelhető belőle:

\begin{matrix} z^{3} - 10 z^{2} + 27 z - 18 = (z - 1) (z^{2} - 9 z + 18), \end{matrix}

a visszamaradó másodfokú tényező gyökei pedig 3 és 6. Tehát (2) gyökei:

\begin{matrix} \begin{matrix} a = 1, & 1, & 3, & 3, & 6, & 6; \\ b = 3, & 6, & 1, & 6, & 1, & 3; \\ c = 6, & 3, & 6, & 1, & 3, & 1; \\ és (1) megfelelő gyökei: \\ x = a = 1, & 1, & 3, & 3, & 6, & 6; \\ y = b - a = 2, & + 5, & - 2, & 3, & - 5, & - 3; \\ z = c - b = 3, & - 3, & 5, & - 5, & 2, & - 2. \end{matrix} \end{matrix}