Kezdőlap


Feladat:	F.2031	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Gulyás M. , Hegedűs I. , Krenedics S. , Magyar Zoltán , Rapai T. , Soukup L. , Szabó 719 K. , Tankovits T. , Vindis J.
Füzet:	1979/december, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinációk, Totó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: F.2031

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bergengóciában $3^{4}$ különbözőképpen kitöltött TOTÓ-szelvény van. Egy adott héten nemcsak egy szelvényen lehet legalább $3$ találat, hiszen az egyetlen $4$ találatoson kívül azon a $8$ szelvényen is legalább $3$ találat van, amelyet a telitalálatos szelvényből úgy kapunk, hogy valamelyik tippjét elrontjuk. Megfordítva, egyetlen szelvénnyel $9$ különböző eredmény mellett lehet legalább $3$ találatunk. Így ahhoz, hogy az összes $3^{4}$ lehetséges esetet lefedjük, legalább $3^{4} : 3^{2} = 3^{2}$ szelvényt kell kitöltenünk. Megfelel a célnak például a következő táblázatban látható $9$ szelvény.

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & x & x & x & 2 & 2 & 2 \\ 1 & x & 2 & 1 & x & 2 & 1 & x & 2 \\ 2 & 1 & x & 1 & x & 2 & x & 2 & 1 \\ x & 1 & 2 & 2 & x & 1 & 1 & 2 & x \end{matrix} \end{matrix}

Burkusföldön

3^{11}

különböző kitöltés van, és egy adott szelvénnyel

\begin{matrix} 1 + (\binom{11}{1}) \cdot 2 + (\binom{11}{2}) 2^{2} = 3^{5} \end{matrix}

különböző esetben lehet legalább

9

találatunk. Egy esetben ugyanis

11

találatunk van. Huszonkét esetben csak egy eredményt nem találtunk el, amikor a

11

sor valamelyikében a tippünktől eltérő két másik lehetséges eredmény valamelyike következett be. Amikor csak

9

találatunk van, a két el nem talált eredmény közül az első sorát

11

-féleképpen, a másodikét

10

-féleképpen választhatjuk meg. Így azonban minden sorpárt kétszer kapunk meg, a különböző esetek száma tehát csak

11 \cdot 10 / 2 = (\binom{11}{2})

. Minden sorpár mellett a mienktől eltérő eredmény

2 \cdot 2

-féleképpen választható meg, így a lehetőségek számára valóban azt kapjuk, amit állítottunk.
Mivel egy szelvénnyel

3^{5}

különböző esetben lehet legalább

9

találatunk, az összes eset lefogásához legalább

3^{11} : 3^{5} = 3^{6}

szelvényt kell kitöltenünk.

Megjegyzés. Burkusföldön nem adtunk példát megfelelő tipp-rendszerre. Tulajdonképpen Bergengóciában sem kellett volna adnunk, a feladat csak egy-egy alsó becslést kért. Látható, hogy a bergengóc példa úgy készült, hogy benne az első két sor tetszőleges, a harmadik sor ezek ,,összege'', ha képzeletben

x

helyére

0

-t írunk, és a

3

-nál nagyobb eredményt

3

-mal csökkentjük. A negyedik sor hasonlóan az első kettő különbsége, csak most a negatív eredményt kell

3

-mal megnövelnünk. Ennek mintájára próbálható meg a

3^{6}

burkus szelvény előállítása is. Most az első hat sor legyen szabad, és a többi öt ezek alkalmas függvénye. Ha az

i

-edik tippet

t_{i}

-vel jelöljük, és most is csak a

3

-mal való osztás maradéka a fontos, akkor egy alkalmas ,,ellenőr'' függvényrendszer a következő:

\begin{matrix} \begin{matrix} t_{7} = t_{2} + t_{3} - t_{4} - t_{5} + t_{6} \\ t_{8} = t_{1} - t_{3} + t_{4} - t_{5} + t_{6} \\ t_{9} = t_{1} - t_{2} - t_{4} + t_{5} + t_{6} \\ t_{10} = - t_{1} + t_{2} - t_{3} + t_{5} + t_{6} \\ t_{11} = - t_{1} - t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{6} \end{matrix} \end{matrix}

Magyar Zoltán