Kezdőlap


Feladat:	F.2029	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Bánhegyi A. , Bárdos O. , Belénessy Zs. , Birincsik Gy. , Bodó Z. , Bognár Gabriella , Bokor J. , Brindza B. , Csikós B. , Csúri M. , Dudás Éva , Friedl Katalin , Gulyás M. , Gyetvai K. , Hennel Ágnes , Homonnay G. , Horváth 238 L. , Horváth 712 I. , Husvéti T. , Jóljárt Z. , Kafka Gy. , Knébel I. , Koncz K. , Krinszki A. , Laczkó M. , Lugosi Erzsébet , Magyar Z. , Márkus G. , Miklós D. , Moussong G. , Nagy 264 I. , Nagy 652 L. , Nagy L. , Rapai T. , Réthy I. , Sali A. , Soukop L. , Szabó 719 K. , Szalay 195 S. , Székely Z. , Szigeti A. , Szőke R. , Tankovits T. , Tóth Cs. , Vancsó Ö. , Varga I. , Wéber L.
Füzet:	1976/november, 124 - 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Síkgeometriai szerkesztések, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: F.2029

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az érintők alkotta háromszög csúcsait $A, B, C$ -vel, az érintési pontokat $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ -lal, a háromszög síkját $S$ -sel. Emeljünk az $A, B, C$ pontokban $S$ -re merőleges egyeneseket, és mérjük fel rájuk $S$ egyik oldalán rendre az $A A_{1} = A B_{0}, B B_{1} = B C_{0}, C C_{1} = C A_{0}$ szakaszokat, majd tükrözzük a kapott pontokat $S$ -re, és az új pontokat jelöljük $A_{2}$ -vel, $B_{2}$ -vel, $C_{2}$ -vel.

Mivel az

A_{0} B_{0} C_{0}

háromszög oldalai különbözőek, az

A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}

síkok metszik

S

-t, és mivel szimmetrikusak

S

-re, az

S

-sel alkotott metszés vonaluk azonos. E metszésvonal egyik pontja az

A B, A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}

egyenesek metszéspontja, jelöljük ezt

C^{*}

-gal. Megmutatjuk, hogy az

A_{0} B_{0}

egyenes is átmegy

C^{*}

-on, és ezzel már készen is vagyunk, hiszen hasonló állítás igazolható a

B C, C A

egyenesekkel kapcsolatban is.
Mivel

C C_{1} A_{0}, B B_{2} A_{0}

, illetve

C C_{1} B_{0}, A A_{2} B_{0}

egyenlő szárú derékszögű háromszögek,

A_{0}

C_{1} B_{2}

, és

B_{0}

C_{1} A_{2}

egyenesen van. Tehát a

C_{1} B_{2} A_{2}

sík

S

-t az

A_{0} B_{0}

egyenesben metszi, tükörképe, a

C_{2} B_{1} A_{1}

sík szintén, így

A_{0} B_{0}

valóban átmegy

A_{1} B_{1}

és

A_{2} B_{2}

közös

C^{*}

pontján.