Kezdőlap


Feladat:	F.2028	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Madocsai Zsolt
Füzet:	1976/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Koszinusztétel alkalmazása, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: F.2028

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy szerencsés ötlettel nagyon közel jutunk a megoldáshoz. Tükrözzük a szokásosan betűzött $A B C$ háromszöget ( $A B = c$ stb.) a $γ$ szög $C F$ felezőjére az $A' B' C$ helyzetbe (1. ábra).

Ekkor a szögfelező tétele szerint az

A B

oldal két darabjára

F A : F B = b : a = 3 : 4

, tehát

A F = A' F = 3

és

F B = 4

egység, másrészt

A' B = a - b = 5

.
Most már csak azt kell észrevennünk, hogy az

A' B F

háromszög derékszögű ‐ az ún. egyiptomi háromszög ‐, tehát a külső szög tétele alapján

\begin{matrix} F A' C ∢ = α = 90^{\circ} + β = \frac{1}{2} (α + β + γ) + β, \end{matrix}

amiből csekély átrendezéssel a sejtett egyenlőség adódik.

Madocsai Zsolt (Pannonhalma, Bencés Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Könnyen észrevesszük a

3, 4, 5

pitagoraszi számhármas, illetve

3 k, 4 k, 5 k

oldalakkal bíró derékszögű háromszögek jelenlétét, ha ‐ mint természetes ‐ mi is elkezdjük a szögek kiszámítását:

\begin{matrix} cos α = \frac{15^{2} + 7^{2} - 20^{2}}{2 \cdot 15 \cdot 7} = - \frac{3}{5}, \\ cos β = \frac{20^{2} + 7^{2} - 15^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 7} = \frac{4}{5}, \end{matrix}

azonban az egyszerű eredmény láttán, de főleg a kérdés lényegének megfelelően ‐ nem nyúlunk hozzá a csupán közelítő értékeket tartalmazó trigonometriai táblázatokhoz.
Számításunkból elég annyit kiolvasni:

α

tompaszög,

β

hegyesszög, másrészt

\begin{matrix} cos^{2} α + cos^{2} β = cos^{2} (180 - α) + sin^{2} (90^{\circ} - β) = 1, \end{matrix}

tehát

180^{\circ} - α = 90^{\circ} - β

. Innen az I. megoldás befejezése szerint következik az állítás.

Megjegyzések. 1. Kissé más befejezés az, hogy a

C C_{0}

magasság közös befogója a

A C C_{0}

és

C B C_{0}

egymáshoz hasonló derékszögű háromszögeknek, de a hasonlóságban

C C_{0}

nem az önmaga megfelelője. E két háromszög a

3, 4

és

5

oldalakkal bíró háromszögnek

b : 5 = 3

-szoros, ill.

a : 5 = 4

-szeres nagyításával adódik.
2. Azt is látni az 1. megjegyzésből, hogy az igazolt szög-összefüggés érvényes minden olyan háromszögben, amely a leírt módon áll elő egy hasonló derékszögű háromszögpárból. Legyenek egy derékszögű háromszög oldalai

x < y < z

(2. ábra).

Továbbá

y / x = k (> 1)

; ekkor a

k x = y, k y, k z