Kezdőlap


Feladat:	F.2025	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Révész Sz. György
Füzet:	1976/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: F.2025

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendezzük át egyenletünket, és osszuk el mindkét oldalát 4-gyel:

\begin{matrix} {(\frac{1}{2} sin 3 x + \frac{\sqrt[]{3}}{2} cos 3 x)}^{2} = \frac{1 + cos 14 x}{2} \end{matrix}

Mivel

\frac{1}{2} = sin \frac{π}{6} és \frac{\sqrt[]{3}}{2} = cos \frac{π}{6}, a cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

, valamint a

cos^{2} α = (1 + cos 2 α) / 2

azonosságok alapján következik, hogy

\begin{matrix} \frac{1 + cos (6 x - \frac{π}{3})}{2} = \frac{1 + cos 14 x}{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} cos (6 x - \frac{π}{3}) = cos 14 x . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} 6 x - \frac{π}{3} = \pm 14 x + 2 k π, k = 0, \pm 1, \pm 2, ..., \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{1} = \frac{π}{60} + k \frac{π}{10}, x_{2} = - \frac{π}{24} - k \frac{π}{4} . \end{matrix}

Mivel a megoldás során csak ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, a kapott értékek valóban gyökei az egyenletnek.

Révész Sz. György (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)