Kezdőlap


Feladat:	F.2024	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ármós L. , Balázs I. J. , Binzberger G. , Bodó Z. , Brindza B. , Csikós B. , Fried M. , Holop L. , Homonnay G. , Honos A. , Horváth 712 István , Knébel I. , Koncz K. , Kozma R. , Krenedits S. , Lang Gy. , Láng Zs. , Lovász A. , Lugosi E. , Magyar Z. , Miklós D. , Mohácsi B. , Moussong G. , Nagy 691 T. , Nőthig L. , Pap 224 L. , Pósafalvi A. , Pyber L. , Rapai T. , Révész Sz. Gy. , Soukup L. , Szabó 859 Sándor , Szalay 195 Sándor , Szalay T. , Szőke R. , Tornóci L.
Füzet:	1976/november, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Magasságpont, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: F.2024

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metsző $S$ síkkal szemben támasztott követelmény teljesíthető, elég, ha $S$ nem megy át a tetraédernek egyik csúcsán sem. Jelöljük $S$ -nek az $X Y$ éllel való metszéspontját $T_{x y}$ -nal és fussa be $X$ és $Y$ egymástól különbözően az $A, B, C, D$ csúcsokat (1. ábra).

Triviálisan igaz az állítás, ha a

T_{x y}

metszéspontok közt van olyan 3, amelyek egy derékszögű háromszög csúcsai, hiszen ebben a magasságpont maga a derékszög csúcsa, és ezt az egybeesést a feladat nem zárja ki. Megmutatjuk, hogy a

T_{a c} T_{a b} T_{a d}

háromszögben

T_{a c}

-nél derékszög van.
Valóban, az

A C D

sík merőleges a téglatest révén az

A C B

síkra, a fölvétel révén

S

-re, tehát az

A C D

sík merőleges e két sík közös egyenesére, amin pedig rajta van

T_{a c}

és

T_{a b}

. Így a

T_{a c} T_{a b}

egyenesre merőlegesen áll az

A C D

síknak minden egyenese, az

S

-sel való

T_{a c} T_{a d}

metszésvonala is; ezzel bebizonyítottuk állításunkat. (Sőt többet kaptunk: a derékszög csúcsát tovább megtartva,

T_{a d}

helyett írhatjuk

T_{c d}

-t, valamint ettől függetlenül

T_{a b}

helyett

T_{b c}

-t, tehát

H

-ból

2 \cdot 2 = 4

olyan derékszögű háromszög is kiválasztható, melyben a derékszög csúcsa

T_{a c}

Megjegyzések. 1. Könnyű a fentiek alapján belátni, hogy teljesíthető a feladat követelménye a

H

-ból vett nem derékszögű háromszöggel is. Az

A, B, C, D

betű helyére rendre

D

-t,

C

-t,

B

-t,

A

-t írva,

S

megválasztása is, föltevéseink is érvényesek maradnak, és eredményünket most így mondjuk ki: a

T_{d b}

pontban a

T_{d a} T_{b a}

és

T_{d c} T_{c b}

egyenesek merőlegesen metszik egymást (2. ábra,

T_{y x}

természetesen azonos

T_{x y}

-nal).

Ez pedig az előbbivel együtt azt jelenti, hogy a

T_{a d} T_{b c} T_{c d}

háromszög magasságpontja (amit már két magasságvonal meghatároz) a

T_{a b}

pont. Ez igazolja újabb állításunkat. ‐ És mivel ismert tény, hogy egy nem derékszögű háromszög bármelyik csúcsa helyére a magasságpontot cserélve, az új háromszög magasságpontja azonos a kicserélt csúccsal, azt látjuk, hogy

T_{a b}, T_{b c}, T_{c d}

és

T_{d a}

közül bármelyik három pont megfelelő háromszöget alkot.
2. Nem használtuk fel, hogy

A B, B C, C D

hossza különböző; ez a feltétel csak a jelölés kényelmes kialakítása kedvéért került a feladat szövegébe.