|
Feladat: |
F.2024 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Ármós L. , Balázs I. J. , Binzberger G. , Bodó Z. , Brindza B. , Csikós B. , Fried M. , Holop L. , Homonnay G. , Honos A. , Horváth 712 István , Knébel I. , Koncz K. , Kozma R. , Krenedits S. , Lang Gy. , Láng Zs. , Lovász A. , Lugosi E. , Magyar Z. , Miklós D. , Mohácsi B. , Moussong G. , Nagy 691 T. , Nőthig L. , Pap 224 L. , Pósafalvi A. , Pyber L. , Rapai T. , Révész Sz. Gy. , Soukup L. , Szabó 859 Sándor , Szalay 195 Sándor , Szalay T. , Szőke R. , Tornóci L. |
Füzet: |
1976/november,
120 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Téglatest, Magasságpont, Térgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/január: F.2024 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A metsző síkkal szemben támasztott követelmény teljesíthető, elég, ha nem megy át a tetraédernek egyik csúcsán sem. Jelöljük -nek az éllel való metszéspontját -nal és fussa be és egymástól különbözően az csúcsokat (1. ábra).
Triviálisan igaz az állítás, ha a metszéspontok közt van olyan 3, amelyek egy derékszögű háromszög csúcsai, hiszen ebben a magasságpont maga a derékszög csúcsa, és ezt az egybeesést a feladat nem zárja ki. Megmutatjuk, hogy a háromszögben -nél derékszög van. Valóban, az sík merőleges a téglatest révén az síkra, a fölvétel révén -re, tehát az sík merőleges e két sík közös egyenesére, amin pedig rajta van és . Így a egyenesre merőlegesen áll az síknak minden egyenese, az -sel való metszésvonala is; ezzel bebizonyítottuk állításunkat. (Sőt többet kaptunk: a derékszög csúcsát tovább megtartva, helyett írhatjuk -t, valamint ettől függetlenül helyett -t, tehát -ból olyan derékszögű háromszög is kiválasztható, melyben a derékszög csúcsa .)
Megjegyzések. 1. Könnyű a fentiek alapján belátni, hogy teljesíthető a feladat követelménye a -ból vett nem derékszögű háromszöggel is. Az betű helyére rendre -t, -t, -t, -t írva, megválasztása is, föltevéseink is érvényesek maradnak, és eredményünket most így mondjuk ki: a pontban a és egyenesek merőlegesen metszik egymást (2. ábra, természetesen azonos -nal).
Ez pedig az előbbivel együtt azt jelenti, hogy a háromszög magasságpontja (amit már két magasságvonal meghatároz) a pont. Ez igazolja újabb állításunkat. ‐ És mivel ismert tény, hogy egy nem derékszögű háromszög bármelyik csúcsa helyére a magasságpontot cserélve, az új háromszög magasságpontja azonos a kicserélt csúccsal, azt látjuk, hogy és közül bármelyik három pont megfelelő háromszöget alkot. 2. Nem használtuk fel, hogy hossza különböző; ez a feltétel csak a jelölés kényelmes kialakítása kedvéért került a feladat szövegébe. |
|