I. megoldás. Az állítás úgy is tekinthető, mint egy kör négy különböző hosszúságú húrja közti összefüggés, tehát írható így is:

Ad1-hez tartozó középponti szög fele ${12}^{\circ }$, így $d_1=2\text{sin}{12}^{\circ }$, és $d_i=2\text{sin}i\cdot {12}^{\circ }$. A bal és a jobb oldal különbsége ismert azonosságok alkalmazásával
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\frac{1}{2\text{sin}{24}^{\circ }}+\frac{1}{2\text{sin}{48}^{\circ }}\right)-\left(\frac{1}{2\text{sin}{12}^{\circ }}-\frac{1}{2\text{sin}{96}^{\circ }}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{\text{sin}{48}^{\circ }+\text{sin}{24}^{\circ }}{4\text{sin}{12}^{\circ }\text{cos}{12}^{\circ }\text{sin}{48}^{\circ }}-\frac{\text{sin}{96}^{\circ }-\text{sin}{12}^{\circ }}{4\text{sin}{12}^{\circ }\text{sin}{48}^{\circ }\text{cos}{48}^{\circ }}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{\text{sin}{36}^{\circ }}{2\text{sin}{12}^{\circ }\text{sin}{48}^{\circ }}-\frac{\text{cos}{54}^{\circ }}{2\text{sin}{12}^{\circ }\text{sin}{48}^{\circ }}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$

A második tagban $\text{sin}{42}^{\circ }=\text{cos}{48}^{\circ }$ alapján egyszerűsítettünk és mivel hasonlóan a két számláló is egyenlő, a kifejezés értéke 0. Az állítást bebizonyítottuk.

 

II. megoldás. Nem nehéz kiválasztani a 15-szög csúcsai közül olyan 4-et, amelyek közti 6 távolság a (2)-beliek közül vett hárommal egyenlő, és fellép még egy más hosszúságú átló is.

 

 

1. ábra

 

Ilyen egyrészt a $A_1{A}_2{A}_3{A}_5$ négyszög (oldalai: $d_1\mathrm{,}{d}_1{d}_2\mathrm{,}{d}_4\mathrm{,}$ átlói $d_2$ és $d_3$ (1. ábra), másrészt a $A_1{A}_4{A}_8{A}_{15}(d_3\mathrm{,}{d}_4\mathrm{,}{d}_7\mathrm{,}{d}_1$, ill. $d_7\mathrm{,}{d}_4$, 2. ábra).

 

 

2. ábra

 

Így kétszer alkalmazhatjuk a húrnégyszögekre vonatkozó Ptolemaiosz-tételt, amely szerint a konvex húrnégyszög átlóinak szorzata egyenlő a szemben levő oldalpárjainak szorzatából képezett összeggel:

${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle d_2{d}_3}& {\displaystyle =d_1{d}_2+d_1{d}_4\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d_4{d}_7}& {\displaystyle =d_3{d}_7+d_4{d}_1\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$

Felírjuk $d_3$ innen kivehető két kifejezésének egyenlőségét:

$\begin{array}{c}{\displaystyle d_1+\frac{d_1{d}_4}{d_2}=d_4-\frac{d_1{d}_4}{d_7}\mathrm{,}}\end{array}$

és ezt $d_1{d}_4$-gyel osztva a (2)-vel ekvivalens összefüggést kapunk:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{d_4}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_7}\mathrm{.}}\end{array}$

Megjegyzés. Javasoljuk a komplex számokkal bánni tudó olvasóinknak, bizonyítsák be a feladat állítását komplex számok felhasználásával is. Hasonlóan jó gyakorlásul szolgálhat a feladat az inverzióhoz értők számára is.