Kezdőlap


Feladat:	F.2020	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Tornóci László
Füzet:	1976/november, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: F.2020

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kicsit általánosabban keressük azokat az $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ , mértani sorozatokat, amelyekhez az $1 \leq i_{1} < i_{2} < ... < i_{k} \leq n$ indexek, és az $ε_{j} = (\pm 1) (j = 1, 2, ..., k)$ előjelek megválaszthatók úgy, hogy

\begin{matrix} ε_{1} a_{i_{1}} + ε_{2} a_{i_{2}} + ... + ε_{k} a_{i_{k}} = 0 \end{matrix}

(1)

teljesüljön. Jelöljük a sorozat hányadosát

q

-val, akkor (1) az

\begin{matrix} a_{i_{1}} (ε_{1} + ε_{2} q^{i_{2} - i_{1}} + ... + ε_{k} q^{i_{k} - i_{1}}) = 0 \end{matrix}

(2)

összefüggést jelenti. Ez mindig teljesül, ha

a_{i_{1}} = 0

, vagy ha

\begin{matrix} ε_{2} q^{i_{2} - i_{1}} + ... + ε_{k} q^{i_{k} - i_{1}} = - ε_{1} . \end{matrix}

(3)

A második esetben (3) bal oldalán minden tag osztható

q

-val, így

ε_{1}

is osztható

q

-val, ami csak

q = 1

, vagy

q = - 1

mellett lehetséges. A

q = 1

érték csak az általánosabb feladatra ad megoldást,

q = - 1

viszont az eredeti feladatra is megfelelő megoldást ad.
A mértani sorozat hányadosa tehát tetszőleges szám lehet, de csak akkor, ha a sorozat első tagja

0

. Ha ezt és a

q = 0

triviális eseteket kizárjuk, a hányados értéke csak ‐

1

lehet.

Tornóci László (Tata, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Azt, hogy nincs az

a_{1} \neq 0, | q | \geq 2

feltételeknek eleget tevő megoldás, annak alapján is beláthatjuk, hogy az ilyen sorozatokban

| a_{n + 1} | > | a_{1} | + | a_{2} | + ... + | a_{n} | (n = 1, 2, ...)

.
2. Hasonló kérdést vizsgáltunk az 1936. feladat megoldása során is (KÖMAL 1975. 2. szám 63. old.).