Kezdőlap


Feladat:	F.2019	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Laczkó Mátyás
Füzet:	1976/május, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: F.2019

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kijelölt műveletek elvégzésével és az összegezési képletek alkalmazásával olyan egyenlőtlenséget állítunk elő, amelynek a helyes vagy helytelen volta közvetlenül eldönthető.

\begin{matrix} {(cos x cos y + sin x sin y)}^{2} ≦ 4 (1 - sin x cos y - cos x sin y + sin x cos x sin y cos y), \end{matrix}

\begin{matrix} {(cos x cos y - sin x sin y)}^{2} ≦ 4 - 4 sin (x + y), \end{matrix}

\begin{matrix} 1 - sin^{2} (x + y) ≦ 4 - 4 sin (x - y), \end{matrix}

\begin{matrix} 1 ≦ {[2 - sin (x + y)]}^{2} . \end{matrix}

Mivel

sin (x + y) ≦ 1

, az utoljára kapott összefüggés minden

(x, y)

-ra fennáll. Csak ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezért a feladat állítása is igaz. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

sin (x + y) = 1

, azaz

x + y = \frac{π}{2} \pm 2 n π (n = 0, 1, 2, ...)

Laczkó Mátyás (Kecskemét, Katona J. Gimn., III. o. t.)