A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel a háromszög hegyesszögű, mind , mind a háromszög belsejében van. Tudjuk, hogy a háromszög magasságpontját bármely oldalára tükrözzük, a tükörkép rajta lesz a háromszög köré írható körön. Tükrözzük -et -re, jelöljük tükörképét -vel, az szakasznak -vel közös pontját -vel (mivel a háromszög hegyesszögű, van ilyen pont). A tükrözés miatt , az ellipszis nagytengelye, azaz rajta van az , fókuszú hosszúságú nagytengelyű ellipszisen.
Belátjuk, hogy az egyenesnek több ilyen tulajdonságú pontja nincs. Legyen tetszőleges, -re illeszkedő, -től különböző pont. Mivel az tükörképe -re, ezért , így . Tekintsük az háromszöget! A háromszög-egyenlőtlenség miatt , így nem pontja az ellipszisnek. Mivel belső pontja -nek, ezért szakasznak egyetlen közös pontja van az ellipszissel, így azt is mondhatjuk, hogy érintő. Az tetszőleges oldala volt a háromszögnek, ezért az állítást mindhárom oldalra beláttuk.
Megjegyzések. 1. A látott tulajdonság alapján szinte nyilvánvaló, hogy a tekintetbe vett ellipszis adja azon körök középpontjának mértani helyét, amelyek átmennek az ( háromszög köré írt körben levő) ponton és (belülről) érintik -t. Az ellipszisnek ilyen felfogása alkalmat ad számos szerkesztésre. Itt az és fókuszok egyenrangúsága nem érvényesül, ezért szokás más neveket használni: a kör az ún. ellenkör (sugara a nagytengely), az ellenkör középpontja és "a'' fókusz. (Természetesen lehetne körül is felvenni ellenkört, a két ellenkör egyidejű felhasználása viszont nem ígér előnyt.) Csak egy efféle szerkesztési példát említünk (elfogadva a fentiekből, hogy az egyenes az ellipszisnek -beli érintőjével azonos): húzzuk meg az érintőket az ellipszishez az egyenes tetszőleges (-tól, -től és -től különböző) pontjából. A fentiekből , tehát a körüli -en (a fókuszon) átmenő kör az ellenkörből kimetszi a érintési pontot tartalmazó ellenköri sugár végpontját, így a keresett (egyik) érintő az szakasz felező merőlegese. ‐ Az olvasóra hagyjuk annak vizsgálatát, milyen helyzetű -hez adódik , ill. érintő, és hogy milyen -hez nem kapunk -t, érintőt. Az érdeklődőknek ajánljuk a következő szakköri füzetet: Schopp János: Kúpszeletek (Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.) 3. Az eddigieket folytatva, eredeti feladatunk egyértelmű a következő tétellel: az ellipszis bármely érintője pontban metszi az ellenkört (fent és ). Megrajzolva e pontokból az ellipszis második érintőit, ezek metszéspontja rajta van az ellenkörön. (Szokásos kifejezéssel: a három érintő záródik, az eljárást folytatva további új érintőt nem kapunk.) Ez a tétel Schopp Jánostól (Budapest) származik. |