Kezdőlap


Feladat:	F.2014	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Tóth Csaba
Füzet:	1976/április, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: F.2014

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ ,

\begin{matrix} P (x) = \frac{b}{\sqrt[]{2}} {(cos x + \frac{1}{\sqrt[]{2}})}^{2} + a - \frac{b}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Itt az első tag nem negatív, és lehet

0

is, például

x = - \frac{π}{4}

mellett, tehát

P (x)

akkor és csakis akkor lesz nem negatív minden

x

-re, ha

a - \frac{b}{\sqrt[]{2}} ≧ 0

, ami

b > 0

mellett ekvivalens az

\begin{matrix} \frac{a}{b} ≧ \frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

(1)

feltétellel.
Jelöljük az

\frac{a}{b}

hányados értékét

c

-vel. Mivel

\frac{b + a}{b - a} = \frac{1 + c}{1 - c}

és feltevésünk szerint

\frac{a}{b} < 1

, (1) alapján azt kell megvizsgálnunk, mi a

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} ≦ c < 1 \end{matrix}

(2)

szakaszon értelmezett

\begin{matrix} Q (c) = \frac{1 + c}{1 - c} = \frac{2}{1 - c} - 1 \end{matrix}

függvény értékkészlete. Ha

c

befutja a (2) szakaszt,

1 - c

\begin{matrix} 0 < 1 - c ≦ 1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

szakaszt járja be, reciproka pedig az

1 / (1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}}) = 2 + \sqrt[]{2}

-nél nem kisebb számokat. Tehát

Q (c)

értékkészlete és így a

\frac{b + a}{b - a}

hányados lehetséges értékeinek a halmaza is a

(3 + 2 \sqrt[]{2})

-nél nem kisebb számokból áll.

Tóth Csaba (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)