Feladat: F.2013 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Balázs I. J. ,  Bérczi M. ,  Bodó Z. ,  Fried M. ,  Gulyás M. ,  Hegedűs I. ,  Hídvégi Z. ,  Knébel I. ,  Koltay K. ,  Krenedits S. ,  Lovász A. ,  Lugosi Erzsébet ,  Madarász Gyula ,  Madocsai Zs. ,  Magyar Z. ,  Mészáros Judit ,  Miklós D. ,  Moussong G. ,  Nagy L. ,  Nőthig L. ,  Papp 224 L. ,  Pörneczi T ,  Révész Sz. Gy. ,  Soukop L. ,  Spissich L. ,  Surány G. ,  Tornóci L. ,  Váradi F. ,  Wolf Gy. 
Füzet: 1976/április, 156. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Skatulyaelv, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: F.2013

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen A tetszőleges természetes szám, N rögzített. A felírható

A=k⋅N+a
alakban, ahol 1≦a≦N. Ekkor
Ar-As=[(k⋅N+a)r-ar]+[ar-as]+[as-(kN+a)s].
Az első és a harmadik tag azonos kitevőjű hatványok különbsége, ezért osztható az alapok különbségével, így N-nel is. Elegendő tehát azt belátnunk, hogy van olyan r és s, amelyre bármely 1≦a≦N esetén (ar-as) osztható N-nel.
Tekintsük az a szám ap1,ap2,...apn,... végtelen sok egész kitevőjű hatványát, és vegyük ezen hatványok N-nel való osztásánál fellépő maradékokat. E maradékok csak N-félék lehetnek, tehát végtelen sok olyan pi kitevő van, amelyre api azonos maradékot ad.
Tekintsük az a=1 szám összes pozitív egész kitevőjű hatványát. Az iménti gondolatmenet alkalmazásával végtelen sok azonos maradékhoz tartozó kitevőt kapunk. Ezekkel megismételjük az eljárást a=2-re, majd a megmaradó végtelen sok kitevővel a=3-ra, stb. Az N-edik lépés (a=N) után még mindig végtelen sok kitevőnk van, közülük két tetszőleges (különböző) legyen r és s. Ezekre ar-as valóban osztható N-nel, amivel a megoldást befejeztük.
 

  Madarász Gyula (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t. )