|
Feladat: |
F.2013 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Bérczi M. , Bodó Z. , Fried M. , Gulyás M. , Hegedűs I. , Hídvégi Z. , Knébel I. , Koltay K. , Krenedits S. , Lovász A. , Lugosi Erzsébet , Madarász Gyula , Madocsai Zs. , Magyar Z. , Mészáros Judit , Miklós D. , Moussong G. , Nagy L. , Nőthig L. , Papp 224 L. , Pörneczi T , Révész Sz. Gy. , Soukop L. , Spissich L. , Surány G. , Tornóci L. , Váradi F. , Wolf Gy. |
Füzet: |
1976/április,
156. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Skatulyaelv, Természetes számok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1975/december: F.2013 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen tetszőleges természetes szám, rögzített. felírható alakban, ahol . Ekkor | | Az első és a harmadik tag azonos kitevőjű hatványok különbsége, ezért osztható az alapok különbségével, így -nel is. Elegendő tehát azt belátnunk, hogy van olyan és , amelyre bármely esetén osztható -nel. Tekintsük az szám végtelen sok egész kitevőjű hatványát, és vegyük ezen hatványok -nel való osztásánál fellépő maradékokat. E maradékok csak -félék lehetnek, tehát végtelen sok olyan kitevő van, amelyre azonos maradékot ad. Tekintsük az szám összes pozitív egész kitevőjű hatványát. Az iménti gondolatmenet alkalmazásával végtelen sok azonos maradékhoz tartozó kitevőt kapunk. Ezekkel megismételjük az eljárást -re, majd a megmaradó végtelen sok kitevővel -ra, stb. Az -edik lépés után még mindig végtelen sok kitevőnk van, közülük két tetszőleges (különböző) legyen és . Ezekre valóban osztható -nel, amivel a megoldást befejeztük. Madarász Gyula (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t. ) |
|