Kezdőlap


Feladat:	F.2012	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ármos L. , Binzberger G. , Bodó Z. , Bokor J. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Csörgő I. , Drankovics J. , Fodor Klára , Fridli S. , Gulyás M. , Hidvági Z. , Hőbenreich L. , Holop L. , Husvéti T. , Igari A. , Juhász Veronika , Kappelmayer G. , Kereszti L. , Koltay K. , Kramarics G. , Köteles Z. , Laczkó M. , Láng Zs. , Lévai L. , Magyar Z. , Molnár 345 J. , Nagy Beáta , Németh V. , Palotai T. , Pap 224 L. , Porreisz Edit , Rapai T. , Spissich L. , Stark G. , Szalay 195 S. , Szalontai S. , Székely Z. , Tóka J. , Unger J. , Vindics J. , Wolf Gy.
Füzet:	1976/március, 106 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Síkra vonatkozó tükrözés, Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Sokszögek szimmetriái, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: F.2012

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $C_{1} A D_{1}$ és $D B_{1} E$ útvonalak első, valamint második szakaszai páronként metszik egymást (1. ábra).

1. ábra

Valóban, a

C_{1} A

és a

D B_{1}

szakasz négy végpontja egy síkban van, mert a szabályos ötszög tengelyes szimmetriája alapján

C_{1} B_{1} ∥ D_{1} A_{1} ∥ D A

, a két útszakasz a konvex

A D C_{1} B_{1}

trapéz két átlója, így a hasáb egy belső

L

pontjában metszik egymást. Hasonlóan az

A D_{1}

és

B_{1} E

útszakaszok az

A E D_{1} B_{1}

konvex trapéz átlói,

K

metszéspontjuk a két útvonal második közös pontja. Abból is kiadódik ez, hogy az

A E D_{1} B_{1}

és az előbbi

A D C_{1} B_{1}

négyszög egymásba megy át, hasábunk két szimmetriaműveletével, az oldalélek közös felező merőleges síkján való tükrözéssel

A E D_{1} B_{1}

átmegy

A_{1} E_{1} D B

-be, ez pedig a hasáb hossztengelye körüli, a betűsorrend irányában való

2 \cdot \frac{360^{\circ}}{5} = 144^{\circ}

-os elfordítással

C_{1} B_{1} A D

-be.
Az

L

és

K

metszéspontoknak a hasáb alapján levő

L'

K'

merőleges vetülete természetesen a

C A

D B

, illetve

A D

B E

átlópár metszéspontja, a továbbiak céljára ezektől fogjuk mérni a metszéspontoknak az alapsík fölötti magasságát (2. ábra).

2. ábra

Előbb azonban ugyancsak a vetületek alapján belátjuk, hogy a két útvonalnak nincs további közös pontja, és így egyértelműen a

K L

egyenest kell tovább vizsgálnunk.
A két vetületnek további közös pontjai a

D

csúcs, valamint az

A C

B E

átlók

X

metszéspontja.

D

-ben csak fedi egymást a két útvonal, ha felülről nézzük őket, hiszen az I. útvonal

D_{1}

-ben, a II. pedig

D

-ben végződik, magasságkülönbségük a hasáb

m

magassága. Ugyanígy az

X

fölötti

X_{I}

és

X_{II}

pontok is különbözők, hiszen

A X < X C

miatt

X_{I}

közelebb van az

A

-hoz, mint

C_{1}

-hez, tehát az alapsíktól való távolsága kisebb, mint amennyire a fedőlaptól van, viszont

B X < X E

miatt hasonlóan

X_{II}

a fedőlaphoz van közelebb.
Az előbbi

A E D_{1} B_{1}

és

C_{1} B_{1} A D

trapézok a látottak szerint egybevágók, a párhuzamos oldalak megfelelő párjaiból az egyik az alaplapon, a másik a fedőlapon van, tehát

L

ugyanakkora távolságra van a fedőlaptól, mint a

K

az alaplaptól.

K

-nak az alaplaptól és a fedőlaptól mért

K K'

és

K K''

távolságainak aránya egyenlő az

A D_{1}

átló szeleteinek

K A : K D_{1}

arányával, ez tovább egyenlő az alapok

A E : D_{1} B_{1} = A E : D B

arányával, és ez, mint ismeretes,

1 : \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}

. Így

K

-nak és

L

-nek az alaplap fölötti magassága

\begin{matrix} K' K & = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}} \cdot m = \frac{3 - \sqrt[]{5}}{2} m = 0, 382 m, \\ L' L & = \frac{\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}}{1 + \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}} m = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} m = 0, 618 m, \end{matrix}

tehát a vizsgálandó

L K

egyenes mentén

L

-től

K

-ig a magasságesés

(\sqrt[]{5} - 2) m = 0, 236 m

.
E méretekből a 2. ábra alapján látjuk, hogy egyenesünk lefelé haladva az

A E E_{1} A_{1}

oldallap egy

M

pontján át lép ki a hasábból, fölfelé pedig a

B C C_{1} B_{1}

oldallap egy

N

pontján át, az

A E

B C

alapél

M'

, illetve

N'

pontja fölött, amelyeket a

K' L'

egyenes metsz ki. Valóban, az

M' A K'

és az

A K' L'

háromszögek egyenlő szárúak, és

M' A K' ∢ < A K' M' ∢

, így

M' K' < K' A = K' L'

, tehát egyenesünknek az

M' K'

szakasz fölötti esése kisebb

(\sqrt[]{5} - 2) m

-nél, ez viszont kisebb

K' K

-nál, és ugyanez áll az

L' N'

-re, illetve a fölötte

L

-től

N

-ig bekövetkező emelkedésre.
A

K M

esést (és

L N

emelkedést) ki is számíthatjuk. Ismeretes, hogy a

36^{\circ}

szárszögű

A K' M'

háromszögben az alap a szárnak

\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

-szerese:

\begin{matrix} K' M' = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} A K' = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} K' L', \end{matrix}

tehát a

K M

menti esés, valamint

M

-nek

M'

fölötti és

N

-nek

N'

fölötti magassága

\begin{matrix} \frac{K' M'}{L' K'} (\sqrt[]{5} - 2) m = \frac{7 - 3 \sqrt[]{5}}{2} m = \frac{m}{2} (\sqrt[]{49} - \sqrt[]{45}) > 0, \\ M' M = K' K - \frac{7 - 3 \sqrt[]{5}}{2} m = (\sqrt[]{5} - 2) m = 0, 236 m, \\ N' N = m - M' M = (3 - \sqrt[]{5}) m = 0, 764 m . \end{matrix}

Végül felhasználjuk, hogy

A M' = B N' = K' L' = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} D K' = 0, 618 C B

, így

N

B C C_{1} B_{1}

oldallapnak

B B_{1}

-től

0, 618 \cdot B C

-re,

B C

-től

0, 764 \cdot B B_{1}

-re levő pontja,

M

pedig az

A E E_{1} A_{1}

oldallapnak

A A_{1}

-től

0, 618 \cdot A E

-re,

A E

-től

0, 236 \cdot A A_{1}

-re levő pontja.

Megjegyzések. 1. Megállapításaink akkor is érvényesek, ha a hasáb ferde, mert a vetületből felhasznált tények érvényesek oldalélirányú vetítés mellett is.
2. Érdekes eredményt kapunk, ha az

L K

egyenesnek az alaplap síkján való döféspontját tekintjük. Az

L P

szakaszon az esés

L L'

, tehát

\begin{matrix} L' P = \frac{L' K'}{(\sqrt[]{5} - 2) m} \cdot L' L = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} A B = C E, \end{matrix}

így

L' P E C

paralelogramma, tehát

P

D E

alapél meghosszabbításának a

K' L'

egyenessel való metszéspontja.