Válasszunk ki egy tetszőlegeset az adott pontok közül, s e pont köré rajzolunk egységsugarú kört. Ha e kör lefed legalább 13 pontot, úgy ez a kör, illetve az általa lefedett pontcsoport megfelelő.
Ha nem éri el a 13-at a lefedett pontok száma, úgy a le nem fedett pontok közül bármely kettőnek a távolsága kisebb, mint 1. Ugyanis kiválasztva az eredeti pontot és a le nem fedett pontok közül bármelyik kettőt, e pontok távolsága a kiválasztott ponttól nem kisebb, mint 1 (mivel a kör nem fedi le őket), így a feladat feltétele alapján egymástól mért távolságuk kisebb 1-nél.
Válasszunk ki tehát a le nem fedett pontok közül egyet, s e köré rajzoljunk egységsugarú kört! Ez a kör már az összes le nem fedett pontot tartalmazza a legutóbbi megállapítás miatt. Mivel az előbbi kör által lefedett pontok száma legfeljebb 12 volt, így az utóbbi kör legalább $25-12=13$ pontot tartalmaz. Tehát most is találtunk 13 megfelelő pontot, ezzel a bizonyítást befejeztük.