Kezdőlap


Feladat:	F.2010	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/március, 104 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Forgatva nyújtás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: F.2010

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljunk az $A B C$ háromszög $A B$ oldalára kifelé szabályos háromszöget, ennek a harmadik csúcsát jelöljük $C_{1}$ -gyel. Mivel az $A B R$ háromszög egyenlő szárú, $R$ is, $C_{1}$ is az $A B$ szakasz felező merőlegesén van, és a $B C_{1} R$ , $A C_{1} R$ háromszögek e felezőmerőlegesre szimmetrikusan helyezkednek el. Mivel e háromszögekben

\begin{matrix} R B C_{1} ∢ = R A C_{1} ∢ = 45^{\circ}, R C_{1} B ∢ = R C_{1} A ∢ = 30^{\circ}, \end{matrix}

ezek a háromszögek hasonlóak a

B C P

A C Q

háromszögekhez, és az egyes háromszögek csúcsait úgy soroltuk fel, hogy e felsorolás szerint azonos helyzetűek feleljenek meg a valóságban egymásnak. A

B C_{1} R

B A R

B A C

B P C

háromszögek egy‐egy oldalukkal csatlakoznak egymáshoz, és ez az oldaluk rendre elválasztja őket. Emiatt e háromszögek körüljárása rendre ellentétes, így a

B C_{1} R

B C P

háromszögek körüljárása megegyezik. Hasonlóan látható be, hogy az

A C_{1} R

A C Q

háromszögek körüljárása is egyező.

Forgassuk el a

C_{1}

pontot

B

körül addig, amíg a

B R

félegyenesre nem kerül, majd alkalmazzunk

B C_{1} : B R

arányú kicsinyítést. Mivel a

B C_{1} R

B C P

háromszögek hasonlóak, és hasonló helyzetűek, ugyanez a transzformáció

C

-t

P

-be viszi, tehát a transzformáció a

C C_{1}

szakaszhoz a

P R

szakaszt rendeli. Összefoglalva forgatva nyújtásnak nevezzük azt a transzformációt, mely egy forgatás, majd egy, a forgatással azonos centrumú nyújtás (vagy mint esetünkben, kicsinyítés) egymás utáni végrehajtásából áll. Mivel az

A C_{1} R

A C Q

háromszögek is hasonlóak és hasonló helyzetűek, az az

A

centrumú forgatva nyújtás, amely

C_{1}

-t

R

-be viszi,

C

-hez

Q

-t rendeli; és a

C C_{1}

szakaszhoz az

R A

szakaszt rendeli. E két forgatva nyújtás aránya megegyezik, mert a

B C_{1} R

A C_{1} R

háromszögek egybevágóak. Mindkettőben a forgatás

45^{\circ}

-os, hiszen ekkorák a

C_{1} B R

C_{1} A R

szögek. Emiatt a

C C_{1}

szakasznak a két transzformációból származó

R P

R Q

képei egyenlő hosszúak, és a

C C_{1}

egyenessel

45^{\circ}

-os szöget zárnak be. Mivel a

C_{1} B R

C_{1} A R

szögek szimmetrikusak a

C_{1} R

egyenesre, az irányításuk ellentétes, és így az

R P

R Q

szakaszok közti szög

90^{\circ}

-os. A bizonyítást ezzel befejeztük.

Megjegyzések. 1. Legyen

A

-nak a

C Q

egyenesre, illetve

B

-nek

C P

-re vonatkozó tükörképe

B_{1}

, illetve

A_{1}

. Az

A B_{1} C

A_{1} B C

háromszögek is szabályosak, és bennük a

Q

P

pontok hasonló helyzetűek. Hasonló hozzájuk

R

-nek is a helyzete az

A B C_{1}

háromszögben, csak az

A B C_{1} R

alakzatnak az

A B C

háromszöghöz viszonyított helyzete különbözik az

A B_{1} C Q

A_{1} B C P

alakzatokétól. Érdemes megvizsgálni, hogy módosul az állítás, ha a

P

Q

R

pontokat a

P C

Q C

R C_{1}

egyenes más, alkalmasan választott pontjaival (például a

P C

Q C

R C_{1}

szakaszok felezőpontjaival) helyettesítjük.

2. Beláthatjuk állításunk helyességét annak alapján is, hogy ha egymás után alkalmazzuk azt a

P

Q

R

körüli forgatva nyújtást, melyek közül az első

B

-t

C

-be, a második

C

-t

A

-ba, a harmadik

A

-t

B

-be viszi, eredőül azt a transzformációt kapjuk, mely minden ponthoz önmagát rendeli.