Legyen $\frac{1}{2}{x}^2+px+q=f\left(x\right)$. Az $f\left(x\right)$ másodfokú függvény főegyütthatója ${}^1{/}_2$, pozitív, ezért grafikonja az $y$ tengellyel párhuzamos tengelyű, felfelé nyitott parabola. A grafikon az $x$ tengelyhez képest 3-féleképpen helyezkedhet el: vagy fölötte van, vagy érinti, vagy 2 pontban metszi, a gyökök számától függően. Az előbbi két esetben minden függvényérték nem negatív, az utóbbi esetben a függvénynek 2 gyöke van, a két gyök közötti helyeken a függvényérték negatív, a gyökökön kívül pozitív (vö. gimnáziumi tankönyv, II. o., 194‐198. o.).
Elegendő belátnunk, hogy az $\alpha$ és $\beta$ helyen felvett függvényértékek különböző előjelűek. Ebből már következik, hogy a harmadik eset áll fenn, $f\left(x\right)$-nek van két különböző gyöke, közülük az egyik $\alpha$ és $\beta$ közé esik. Az $f\left(\alpha \right)$ és $f\left(\beta \right)$ számok előjelét egyszerűen meghatározhatjuk, figyelembevéve, hogy $\alpha$ ill. $\beta$ megadott egyenletek gyökei: