Kezdőlap


Feladat:	F.2005	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/február, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: F.2005

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az $A B C D$ négyszög húrnégyszög, a kerületi szögek tétele miatt

\begin{matrix} E C B ∢ = E D A ∢ és & (1) \\ D C E ∢ = E B A ∢ . & (2) \end{matrix}

B E C

A E D

háromszögek hasonlóak, mert két‐két szögük egyenlő egyrészt (1) miatt, másrészt az

E

-nél levő szögük csúcsszög.

Így igaz, hogy

\begin{matrix} \frac{A D}{E D} = \frac{C B}{E C} . \end{matrix}

(3)

Hasonlóan belátható, hogy az

A E B

D E C

háromszögek is hasonlóak, vagyis igaz, hogy

\begin{matrix} \frac{A B}{E A} = \frac{C D}{E D} . \end{matrix}

(4)

(3)-at és (4)-ot összeszorozva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A B \cdot A D}{E A \cdot E D} = \frac{C B}{E C} \cdot \frac{C D}{E D} . \end{matrix}

Ebből rendezve és

\frac{1}{E D}

-vel egyszerűsítve kapjuk a bizonyítandó állítást.