|
Feladat: |
F.2004 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bodó Z. , Brindza Béla , Gulyás M. , Homonnay G. , Husvéti T. , Krenedits S. , Magyar Z. , Nagy 578 I. , Tornóci L. , Vindics J. |
Füzet: |
1976/február,
63 - 67. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Körülírt kör, Beírt kör, Lefedések, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Sokszögek szimmetriái, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1975/október: F.2004 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Legyen a szabályos -szög középpontja , egy oldala , ennek felezőpontja , és mérjük fel -tól felé az hosszúságot (1. ábra).
1. ábra A háromszög‐egyenlőtlenség alapján az derékszögű háromszögből eszerint -nak (1)-beli korlátai valóban egy intervallumot engednek meg megválasztására. Az körül irandó körnek vagy át kell mennie -n vagy magába kell zárnia -t; viszont miatt legföljebb kerületéhez tartozhat hozzá, így egész belseje részt vesz a vizsgálandó lefedésben. Az szög csúcsai körül irandó számú kör mindegyikének sugara , jelöljük ezt -szel, és jellemezzük ezzel a lefedést, tehát . (1)-et -gyel szorozva és mind a három részéhez -et hozzáadva teljesülnie kell az kettős egyenlőtlenségnek. Az első rész szerint bármelyik két ilyen kör nem nyúlhat egymásba, hiszen két középpont távolsága legalább akkora, mint , ami legalább akkora, mint . Az sugarú körök a szabályos -szög területéből egy‐egy nyílásszögű körcikket fednek le, ahol a szabályos szög egy szöge, ívmértékben Így a lefedett terület és ennek ugyanazon (és megfelelő ) mellett van maximuma, illetve minimuma, mint a (2) tartományban értelmezett | | függvénynek. -et minden -re értelmezett függvénynek tekintve (rögzített mellett) minimuma van az helyen, és a minimum értéke az állandó tag, pozitív. 2. Megmutatjuk, hogy benne van a (2) intervallumban, tehát feladatunk b) részére a válasz éppen . Az egyenlőtlenség ekvivalens evvel: , vagyis, hogy a szabályos -szög kerületének a fele nagyobb az átmérőnél. Páros esetén ez szinte nyilvánvaló: a kerület felét megadja számú, egymás után csatlakozó oldalból álló töröttvonal, és az ennek végpontjait összekötő átló hossza éppen az átmérő. Páratlan esetén a kerület felét egy csúcstól a szemben levő oldal felezőpontjáig haladva tesszük meg (bármelyik irányban), és akkor az egyenes mint szimmetriatengely átmegy -n (2. ábra).
2. ábra Az egyik félkerületet két részre osztjuk a -vel megfelezett oldal végpontjával. Az útrész vetülete a tengelyre (hiszen a sokszögnek belső pontja). A vetület nem nagyobb, mint az eredeti útrész, ezért | | ezt akartuk bizonyítani. (Egyenlőség semmilyen -re nem teljesülhet.) (2)-ből az rész belátásához tekintsük az pont körül azt a kört, amely érinti a sokszögünk köré írt kört, nyilvánvalóan az ív felezőpontjában (1. és 3. ábra).
3. ábra Az félegyenest az és közti pontban metszi, mert tehát , és így . Fogadjuk el ebből bizonyítás nélkül, hogy -nek húrhoz tartozó íve hosszabb, mint -nek a húrhoz tartozó negyedköríve: | | Ebből -vel való szorzás útján adódik a kívánt egyenlőtlenség: Az eddigiek szerint a sokszög területéből a megrajzolt kör által lefedett rész minimális, ha a sokszög csúcsa körül leírt körök sugara , egyenlő a kör átmérőjének -ed részével. A sugár szerkesztése nyilvánvaló, és ezzel is kiadódik. 3. Azt is láttuk, hogy a (2)-beli korlátok egyikével sem egyenlő. Legyen az alsó korlát , a felső korlát . Így az -tól felé haladva is, felé haladva is növekszik és a másodfokú függvény grafikonjának szemléletére támaszkodva mondhatjuk, hogy legnagyobb elért értéke az első esetben , a másodikban . Eszerint -nek az intervallumon elért maximuma e két érték nagyobbika. Mármost | | és ez aszerint pozitív, negatív vagy 0, hogy és közül az első, illetve a második a nagyobb, illetve ha éppen egyenlők. Megmutatjuk, hogy esetén az -ből adódó a maximum, esetén , vagyis | | és mellett egyaránt maximumot kapunk, mellett pedig vezet a maximumra. Valóban, esetén , , így
A legnagyobb lefedését tehát úgy kapjuk az oldalú szabályos háromszögnek, ha a csúcsai körül sugarú köröket írunk, középpontja körül pedig azt a -t, amely e három kört érinti (4. ábra első háromszöge, a második ábra -et, a harmadik a minimális fedést mutatja).
4. ábra Az melletti belátásához elég a négyzetet és esetében egyaránt 4‐4 egybevágó részre osztani a két oldalfelezővel, a részek átrendezésével egymásba mennek át (5. ábra, a szintén bemutatott minimum esetében ).
5. ábra Az esetre a trigonometriai táblázat adatait használjuk fel. Mindig érvényes, hogy és mivel mellett és , azért
tehát , a lefedés maximumát úgy kapjuk, hogy -ként a szabályos ötszög beírt körét vesszük (6. ábra).
6. ábra Végül az értékekre jelöljük -nak -beli átellenes pontját -vel. Az derékszögű háromszög felhasználásával
A kivonandót növeljük, ha helyére az húrt írjuk, majd mindkét tagban az húr helyére az ívet: | | (a zárójelben -t 10-re növeltük és -et 6-ra csökkentettük). Ezzel az előrebocsátottak szerint megmutattuk, hogy minden esetre úgy adja a rajzolt körrendszer a szabályos -szög maximális lefedését, ha -ként a beírt körből indulunk ki. Brindza Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.) |
|